2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公(理科)学案(理科)北师大.doc

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资源描述

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.3 空间图形的基本关系与公理 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义 2.了解可以作为推理依据的公理和定理 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 . 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角,题型主要以选择题和填空题的形式出现,解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力 . 1四个公理 公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理 2:过 不在一条直线上 的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有

2、一条 过该点的公共直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类? 共面直线? 平行 直线相交 直线异面直线:不同在 任何 一个平面内,没有公共点(2)异面直线所成的角 定义:设 a, b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a a, b b,把 a 与 b所成的 锐角 (或直角 )叫作异 面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) 范围: ? ?0, 2 . 3直线与平面的位置关系有 直线在平面内 、 直线与平面相交 、 直线与平面平行 三种情况 4平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的 两

3、边分别对应平行 ,那么这两个角相等或互补 =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 1唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已 知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)如果两个不重合的平面 , 有一条公共直线 a,就说平面 , 相交,并记作 a.( ) (2)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相

4、交于过 A 点的任意一条直线 ( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面 ( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线 ( ) (6)若 a, b 是两条直线, , 是两个平面,且 a , b ,则 a, b 是异面直线 ( ) 题组二 教材改编 2.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E, F 分别是 AB, AD 的中点,则异面直线 B1C 与EF 所成角的大小为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 连接 B1D1, D1C,则 B1D1 EF,故 D1B1C 即为所求的角又 B

5、1D1 B1C D1C, B1D1C为等边三角形, D1B1C 60. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3.如图,在三棱锥 A BCD 中, E, F, G, H 分别是棱 AB, BC, CD, DA 的中点,则 (1)当 AC, BD 满足条件 _时,四边形 EFGH 为菱形; (2)当 AC, BD 满足条件 _时,四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)AC BD (2)AC BD 且 AC BD 解析 (1) 四边形 EFGH 为菱形, EF EH,故 AC BD. (2) 四边形 EFGH 为正方形, EF EH 且 EF EH, EF 綊 12AC, EH 綊 12BD, AC

6、 BD 且 AC BD. 题组三 易错自纠 4 (2017 湖南省湘中名校联考 )已知 l, m, n 为不同的直线, , , 为不同的平面,则下列判断正确的是 ( ) A若 m , n ,则 m n B若 m , n , ,则 m n C若 l, m , m ,则 m l D若 m, n, l m, l n,则 l 答案 C 解析 A 中, m, n 可能的位置关系为平行、相交、异面,故 A 错误; B 中, m 与 n 也有可能平行, B 错误; C 中,根据线面平行的性质可知 C 正确; D 中,若 m n,根据线面垂直的判定可知 D 错误,故选 C. 5 (2017 湖北七市联考 )设

7、直线 m 与平面 相交但不垂直,则下列说法中正确的是 ( ) A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 答案 B 解析 对于 A,在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直,过交点与直线 m 垂直的直线只有一条,在平面内与此直线平行的直线都与 m 垂直,不正确;对于 B,过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直,在直线 m 上取一点作平面 的垂线,两条直线确定一 个平面与平面 垂直,正确;对于 C,与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行,不正确;对于 D,=

8、【 ;精品教育资源文库 】 = 与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直,不正确 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB, CD, EF, GH 在原正方体中互为异面的对数为 _ 答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB, CD, EF 和 GH 在原正方体中,显然 AB 与 CD, EF 与 GH, AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交, CD 与 GH 相交, CD 与EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一 平面基本性质 的应用 典例 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E, F 分别是 AB 和

9、AA1的中点求证: (1)E, C, D1, F 四点共面; (2)CE, D1F, DA 三线共点 证明 (1)如图,连接 EF, CD1, A1B. E, F 分别是 AB, AA1的中点, EF BA1. 又 A1B D1C, EF CD1, E, C, D1, F 四点共面 (2) EF CD1, EFCD1, =【 ;精品教育资源文库 】 = CE 与 D1F 必相交, 设交点为 P,如图所示 则由 P CE, CE 平面 ABCD,得 P 平面 ABCD. 同理 P 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD 平面 ADD1A1 DA, P 直线 DA, CE, D1F, DA 三线共

10、点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法: 首先由所给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面,然后再证其余的线 (或点 )在这个平面内; 将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法: 先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经 过该点 跟踪训练 (2018 沈阳质检 )如图,在空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB, AD 的中点, G,H 分别在 BC, CD 上,且 BG GC D

11、H HC 12. (1)求证: E, F, G, H 四点共面; (2)设 EG 与 FH 交于点 P,求证: P, A, C 三点共线 证明 (1) E, F 分别为 AB, AD 的中点, EF BD. 在 BCD 中, BGGC DHHC 12, GH BD, EF GH. E, F, G, H 四点共面 (2) EG FH P, P EG, EG 平面 ABC, P 平面 ABC.同理 P 平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC 平面 ADC AC, P AC, P, A, C 三点共线 题型二 判断空间两直线的位置关系 典例 (1)若直线 l1和

12、 l2是异面直线, l1在平面 内, l2在平面 内, l 是平面 与平面=【 ;精品教育资源文库 】 = 的交线,则下列命题正确的是 ( ) A l 与 l1, l2都不相交 B l 与 l1, l2都相交 C l 至多与 l1, l2中的一条相交 D l 至少与 l1, l2中的一条相交 答案 D 解析 方法一 由于 l 与直线 l1, l2分 别共面,故直线 l 与 l1, l2要么都不相交,要么至少与 l1, l2中的一条相交若 l l1, l l2,则 l1 l2,这与 l1, l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1, l2中的一条相交 方法二 如图 1, l1与 l2是异面直线,

13、l1与 l 平行, l2与 l 相交,故 A, B 不正确;如图 2,l1与 l2是异面直线, l1, l2都与 l 相交,故 C 不正确 (2)(2017 唐山一中月考 )如图, G, H, M, N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH, MN 是异面直线的图形有 _ (填上所有正确答案的序号 ) 答案 解析 在图 中,直线 GH MN; 在图 中, G, H, N 三点共面,但 M?平面 GHN, N?GH, 因此直线 GH 与 MN 异面; 在图 中,连接 GM, GM HN,因此 GH 与 MN 共面; 在图 中, G, M, N 共面,但 H?平面 GMN, G?M

14、N, 因此 GH 与 MN 异面 所以在图 中 GH 与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形 (梯形 )中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直或 面面垂直的性质来解决 跟踪训练 (1)(2016 山东 )已知直线 a, b 分别在两个不同的平面 , 内,则 “ 直线 a和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 和平面 相交; 若平面 和平面 相交,那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交,故选 A. (2)已知 a, b, c 为三条不重合的直线,已知下列结论: 若 a b, a c,则 b c; 若 a b, a c,则 b c; 若 a b, b c,则 a c. 其中正确的个数为 ( ) A 0 B 1 C

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