1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.6 对数与对数函数 最新考纲 考情考向分析 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 12， 13的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型 4.了解指数函数 y ax(a0，且 a1) 与对数函数 ylogax(a0，且 a1) 互为反函数 . 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以 复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度 . 1对数的概念
2、如果 a(a0， a1) 的 b 次幂等于 N，即 ab N，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 logaN b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1 ， M0， N0，那么： log a(MN) logaM logaN； log aMN logaM logaN； log aMn nlogaM (n R) (2)对数的性质 logaNa N ； log aaN N (a0，且 a1) (3)对数的换底公式 logab logcblogca(a0，且 a1 ； c0，且 c1 ； b0) =【 ;精品教育资源文库
3、 】 = 3对数函数的图像与性质 ylogax a1 01 时， y0；当 01 时， y0 (6)在 (0， ) 上是 增函数 (7)在 (0， ) 上是 减函数 4.反函数 指数函数 y ax(a0 且 a1) 与对数函数 y logax(a0 且 a1) 互为反函数，它们的图像关于直线 y x 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab 1logba； (2)logm na b nmlogab. 其中 a0 且 a1 ， b0 且 b1 ， m， n R. 2对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线 y 1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故 00，则
4、 loga(MN) logaM logaN.( ) (2)对数函数 y logax(a0 且 a1) 在 (0， ) 上是增函数 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)函数 y ln1 x1 x与 y ln(1 x) ln(1 x)的定义域相同 ( ) (4)对数函数 y logax(a0 且 a1) 的图像过定点 (1,0)且过点 (a,1)， ? ?1a， 1 ，函数图像只在第一、四象限 ( ) 题组二 教材改编 2 log29log 34log 45log 52 . 答案 2 3已知 a 2 13 ， b log213， c12log13，则 a， b， c 的大小关系为 答案
5、 cab 解析 01. cab. 4函数 y23log (2 1)x?的定义域是 答案 ? ?12， 1 解析 由23log(2x 1)0 ，得 00， log5b a， lg b c,5d 10，则下列等式一定成立的是 ( ) A d ac B a cd C c ad D d a c 答案 B 6已知函数 y loga(x c)(a， c 为常数，其中 a0， a1) 的图像如图，则下列结论成立的是 ( ) A a1， c1 B a1,01 D 00 且 a1) ，则实数 a 的取值范围是 答案 ? ?0， 34 (1 ， ) 解析 当 01 时， loga341. 实数 a 的取值范围是
6、? ?0， 34 (1 ， ) 题型一 对数的运算 1设 2a 5b m，且 1a 1b 2，则 m 等于 ( ) A. 10 B 10 C 20 D 100 答案 A 解析 由已知，得 a log2m， b log5m， 则 1a 1b 1log2m 1log5m logm2 logm5 logm10 2. 解得 m 10. 2计算： ? ?lg 14 lg 25 12100 . 答案 20 解析 原式 (lg 2 2 lg 52) 12100 lg? ?1225 2 10 lg 10 210 210 20. 3计算： ?1 log63?2 log62log 618log64 . 答案 1
7、=【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 原式 1 2log63 ?log63?2 log663log 6?63 ?log64 1 2log63 ?log63?2 1 ?log63?2log64 2?1 log63?2log62 log66 log63log62 log62log62 1. 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 题型二 对数函数的图像及应用 典例 (1)若函数 y
8、logax(a0 且 a1) 的图像如图所示，则下 列函数图像正确的是 ( ) 答案 B 解析 由题意 y logax(a0 且 a1) 的图像过 (3,1)点，可解得 a 3.选项 A 中， y 3 x ? ?13x， 显然图像错误；选项 B 中， y x3，由幂函数图像性质可知正确；选项 C 中， y ( x)3 x3，显然与所画图像不符；选项 D 中， y log3( x)的图像与 y log3x 的图像关于 y 轴对称，显然不符，故选 B. (2)当 01 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是 ? ?22 ， 1 . 引申探究 若本例 (2)变为方程 4x logax 在
9、? ?0， 12 上有解，则实数 a 的取值范围为 答案 ? ?0， 22 解析 若方程 4x logax 在 ? ?0， 12 上有解，则函数 y 4x和函数 y logax 在 ? ?0， 12 上有交点， 由图像知? 00，3x， x0 ， 且关于 x 的方程 f(x) x a 0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 答案 (1， ) 解析 如图，在同一坐标系 中分别作出 y f(x)与 y x a 的图像，其中 a 表示直线在 y轴上的截距 由图可知，当 a1 时，直线 y x a 与 y log2x 只有一个交点 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 对数函数的单调性 典
10、例 (1)(2018 届河南信阳高中大考 )设 a log412， b log515， c log618，则 ( ) A abc B bca C acb D cba 答案 A 解析 a 1 log43， b 1 log53， c 1 log63， log 43log53log63， abc. (2)(2017 江西九江七校联考 )若函数 f(x) log2(x2 ax 3a)在区间 ( ， 2上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 4) B ( 4,4 C ( ， 4) 2， ) D 4,4) 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意得 x2 ax 3a0 在
11、区间 ( ， 2上恒成立且函数 y x2 ax 3a 在 ( ， 2上是减少的，则 a2 2 且 ( 2)2 ( 2)a 3a0，解得实数 a 的取值范围是 4,4)，故选 D. 命题点 2 和对数 函数有关的复合函数 典例 已知函数 f(x) loga(3 ax)(a0 且 a1) (1)当 x0,2 时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解 (1) a0 且 a1 ，设 t(x) 3 ax， 则 t(x) 3 ax 为减函数， x0
12、,2 时， t(x)的最小值为 3 2a， 当 x0,2 时， f(x)恒有意义， 即 x0,2 时， 3 ax0 恒成立 3 2a0. a0 且 a1 ， a 的取值范围为 (0,1) ? ?1， 32 . (2)假设存在这样的实数 a. t(x) 3 ax， a0， 函数 t(x)为减函数 f(x)在区间 1,2上为减函数， y logat 为增函数， a1， x1,2 时， t(x)的最小值为 3 2a， f(x)的最大值为 f(1) loga(3 a)， ? 3 2a0，loga?3 a? 1， 即 ? acb B bca C cba D cab 答案 D 解析 a log32log2
13、2 1，所以 c 最大 由 1 1log25，即 ab， 所以 cab. (2)已知函数 f(x) loga(8 ax)(a0，且 a1) ，若 f(x)1 在区间 1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是 答案 ? ?1， 83 解析 当 a1 时， f(x) loga(8 ax)在 1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间 1,2上恒成立， 则 f(x)min loga(8 2a)1，且 8 2a0， 解得 11 在区间 1,2上恒成立， 则 f(x)min loga(8 a)1，且 8 2a0. a4，且 abc B acb C bac D bca (2)(2017 新乡二模 )设 a 6
14、0.4， b log0.40.5， c log80.4，则 a， b， c 的大小关系是 ( ) A abc B bac C cab D acb 解析 (1)因为 a log3log 33 1， b log2 3b，又 bc12log2312log32(log23)21， c0， 所以 bc，故 abc. (2) a 60.41， b log0.40.5(0,1) ， c log80.4bc.故选 B. (3)由 loga2ac. 答案 (1)A (2)B (3)A (4)B 1设 a log37， b 21.1， c 0.83.1，则 ( ) A b2. c 0.83.1， 0 c1. 即 cab，故选 B. 2 (2017 孝义模拟 )函数 y ln sin x(0x) 的大致图像是 ( )
