1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.7 双曲线 最新考纲 考情考向分析 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单性质 (范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 ). 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数 a， b， c 及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以选择、填空题为主，难度为中低档一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的简单性质 . 1双曲线定义 平面内到两定点 F1， F2的 距离之差的绝对值 等于常数 (大于零且小于 |F1F2|)的点的集合叫作 双曲线这两个定点 F1， F2叫作 双曲线的焦点
2、，两焦点之间的距离叫作 双曲线的焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a， c 为常数且 a0， c0. (1)当 2a|F1F2|时， P 点不存在 2双曲线的标准方程和简单性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a0， b0) y2a2x2b2 1(a0， b0) 图形 性质 范围 x a 或 x a， y R x R， y a 或 y a 对称性 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点 顶点坐标 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a) =【 ;精品教育资源文库 】 = 渐近线 y bax y abx 离心率 e ca， e
3、 (1， ) ，其中 c a2 b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长 |A1A2| 2a，线段B1B2叫作双曲线的虚 轴，它的长 |B1B2| 2b； a 叫作双曲线的实半轴长， b 叫作双曲线的虚半轴长 a， b， c 的关系 c2 a2 b2 (ca0， cb0) 知识拓展 巧设双曲线方程 (1)与双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2 t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 x2my2n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (3)双曲线方程 x2m2y2n2 (m0， n0， 0) 的渐近线方程是x2
4、m2y2n2 0，即xmyn 0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (5)若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)与x2b2y2a2 1(a0， b0)的离心率分别是 e1， e2，则1e211e221(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线 ) ( ) 题组二 教材改编 2若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 5 B 5 C. 2 D 2 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 xa yb 0，即bx ay 0， =【 ;精品教育资源文库 】 =
5、 2 a bca2 b2 b.又 a2 b2 c2， 5 a2 c2. e2 c2a2 5， e 5. 3经过点 A(3， 1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 _ 答案 x28y28 1 解析 设双曲线的方程为 x2a2y2a2 1( a0)， 把点 A(3， 1)代入，得 a2 8(舍负 )， 故所求方程为 x28y28 1. 题组三 易错自纠 4 (2016 全国 ) 已知方程 x2m2 ny23m2 n 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( ) A ( 1,3) B ( 1， 3) C (0,3) D (0， 3) 答案 A 解析 方程 x2
6、m2 ny23m2 n 1 表示双曲线， ( m2 n)(3 m2 n)0，解得 m20， b0)的一条渐近线经过点 (3， 4)，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 73 B.54 C.43 D.53 答案 D 解析 由条件知 y bax 过点 (3， 4)， 3ba 4， 即 3b 4a， 9 b2 16a2， 9 c2 9a2 16a2， 25 a2 9c2， e 53.故选 D. 6已知双曲线过点 (4， 3)，且渐近线方程为 y 12x，则该双曲线的标准方程为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 x24 y2 1 解析 由双曲线的渐近线方程为 y 12x，可设该双曲线的标准方
7、程为 x24 y2 ( 0) ，已知该双曲线过点 (4， 3)，所以 424 ( 3)2 ，即 1，故所求双曲线的标准方程为 x24y2 1. 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点 1 利用 定义求轨迹方程 典例 (2018 大连模拟 )已知圆 C1： (x 3)2 y2 1 和圆 C2： (x 3)2 y2 9，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _ 答案 x2 y28 1(x 1) 解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得 |MC1| |AC1| |MA|， |MC2| |BC2| |MB|，
8、因为 |MA| |MB|， 所以 |MC1| |AC1| |MC2| |BC2|， 即 |MC2| |MC1| |BC2| |AC1| 2， 所以点 M 到两定点 C2， C1的距离的差是常数且小于 |C1C2| 6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 (点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小 )， 其中 a 1， c 3，则 b2 8. 故点 M 的轨迹方程为 x2 y28 1(x 1) 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为 54； (2)焦距为 26，且经过
9、点 M(0,12)； (3)经过两点 P( 3,2 7)和 Q( 6 2， 7) 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1 或y2a2x2b2 1(a0， b0) 由题意知， 2b 12， e ca 54， b 6， c 10， a 8. 双曲线的标准方程为 x264y236 1 或y264x236 1. (2) 双曲线经过点 M(0,12)， M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a 12. 又 2c 26， c 13， b2 c2 a2 25. 双曲线的标准方程为 y2144x225 1. (3)设双曲线方程为 mx2 ny2 1(mn0) ? 9m 28n
10、 1，72m 49n 1， 解得 ? m 175，n 125. 双曲线的标准方程为 y225x275 1. 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 典例 已知 F1， F2为双曲线 C： x2 y2 2的左、右焦点，点 P在 C上， |PF1| 2|PF2|，则 cos F1PF2 _. 答案 34 解析 由双曲线的定义有 |PF1| |PF2| |PF2| 2a 2 2， | PF1| 2|PF2| 4 2， 则 cos F1PF2 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1| PF2| ?4 2?2 ?2 2?2 4224 22 2 34. =【 ;精品教育资源文库 】 = 引申
11、探究 1本例中，若将条件 “| PF1| 2|PF2|” 改为 “ F1PF2 60” ，则 F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则 |PF1| |PF2| 2a 2 2， 在 F1PF2中，由余弦定理，得 cos F1PF2 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1| PF2| 12， | PF1| PF2| 8， 12FPFS 12|PF1| PF2|sin 60 2 3. 2本例中，若将条件 “| PF1| 2|PF2|” 改为 “ PF1 PF2 0” ，则 F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则 |PF1| |PF2
12、| 2a 2 2， PF1 PF2 0， PF1 PF2 ， 在 F1PF2中，有 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2， 即 |PF1|2 |PF2|2 16， | PF1| PF2| 4， 12FPFS 12|PF1| PF2| 2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程 (2)在 “ 焦点三角形 ” 中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 |PF1 PF2| 2a，运用平方的方法，建立与 |PF1| PF2|的联系 (3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线
13、方程为 x2a2y2b2 ( 0) ，再由条件求出 的值即可 跟踪训练 (1)(2018 沈阳模拟 )设椭圆 C1的离心率为 513，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为_ 答案 x216y29 1 解析 由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1( 5,0)， F2(5， 0)，设曲线 C2上的一点 P，则 |PF1| |PF2| 8. 由双曲线的定义知， a 4， b 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故曲线 C2的标准方程为 x242y232 1. 即 x216y29 1. (2)(2016
14、天津 )已知双曲线 x24y2b2 1(b0)，以原点为圆心，双曲 线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A， B， C， D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 ( ) A.x243y24 1 B.x244y23 1 C.x24y24 1 D.x24y212 1 答案 D 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y b2x，圆的方程为 x2 y2 4， 联立? x2 y2 4，y b2x， 解得? x 44 b2，y 2b4 b2或? x 44 b2，y 2b4 b2，即第一象限的交点为 ? ?44 b2， 2b4 b2 . 由双曲线和圆的对称性得四边形 AB
15、CD 为矩形，其相邻两边长为 84 b2， 4b4 b2，故 84 b4 b22b，得 b2 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故双曲线的方程为 x24y212 1.故选 D. 题型二 双曲线的简单性质 典例 (1)已知 F1， F2是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，若 |PF1| |PF2| 6a，且 PF1F2最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是 ( ) A. 2x y 0 B x 2y 0 C x2 y 0 D 2x y 0 答案 A 解析 由题意，不妨设 |PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得， |PF1| |PF2| 2a，又 |PF1|PF2| 6a，解得 |PF1| 4a， |PF2| 2a.在 PF1F2中， |F1F2| 2c
