1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.2 等差数列及其前 n 项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.了解等差数列与一次函数的关系 . 以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查 . 1等差数列的定义 从第 2 项起，每一项与 前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数
2、为等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 若首项是 a1，公差是 d，则这个等差数列的通项公式是 an a1 (n 1)d. 3等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a， A， b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am (n m)d(n， m N ) (2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N )，则 ak al am an. (3)若 an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若 an， bn是等差数列，则 pan qbn
3、也是等差数列 (5)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N )是公差为 md 的等差数列 (6)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m， ? 构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 an的公差为 d，其前 n 项和 Sn n?a1 an?2 或 Sn na1 n?n 1?2 d. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6等差数列的前 n 项和公式与函 数的关系 Sn d2n2 ? ?a1d2 n. 数列 an是等差数列 ?Sn An2 Bn(A， B 为常数 ) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 an中， a10，
4、d0，则 Sn存在最 小 值 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法： an 1 an d(d 是常数 )?an是等差数列 (2)等差中项法： 2an 1 an an 2 (n N )?an是等差数 列 (3)通项公式： an pn q(p， q 为常数 )?an是等差数列 (4)前 n 项和公式： Sn An2 Bn(A， B 为常数 )?an是等差数列 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的 ( ) (3)等差
5、数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 ( ) (4)已知等差数列 an的通项公式 an 3 2n，则它的公差为 2.( ) (5)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 n N ，都有 2an 1 an an 2.( ) (6)已知数列 an的通项公式是 an pn q(其中 p， q 为常数 )，则数列 an一定是等差数列 ( ) 题组二 教材改编 2设数列 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a6 2 且 S5 30，则 S8等于 ( ) A 31 B 32 C 33 D 34 答案 B 解析 由已知可得? a1 5d 2，5a1 10d 30， 解得 ? a1 263
6、 ，d 43， S8 8a1 872 d 32. 3在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a7 450，则 a2 a8 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 180 解析 由等差数列的性质，得 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450， a5 90， a2 a8 2a5 180. 题组三 易错自纠 4一个等差数列的首项为 125，从第 10 项起开始比 1 大 ，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是 ( ) A d875 B d1，a91 ， 即 ? 125 9d1，125 8d1 ，所以 8750， a7 a100， a2 016 a2 0170， a2 016 a2
7、0170 成立的最大正整数 n 是 ( ) A 2 016 B 2 017 C 4 032 D 4 033 答案 C 解析 因为 a10， a2 016 a2 0170， a2 016 a2 0170， a2 0170， S4 0334 033?a1 a4 033?2 4 033a2 0170 成立的最大正整数 n 是 4 032，故选 C. 7 (2017 安徽省安师大 附中、马鞍山二中阶段性测试 )若等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a2 S3 4， a3 S5 12，则 a4 S7的值是 答案 24 解析 由 a2 S3 4 及 a3 S5 12，得? 4a1 4d 4，6a
8、1 12d 12， 解得? a1 0，d 1， a4 S7 8a1 24d 24. 8等差数列 an中的 a4， a2 016是 3x2 12x 4 0 的两根 ，则14loga1 010 . 答案 12 解析 因为 a4和 a2 016是 3x2 12x 4 0 的两根，所以 a4 a2 016 4.又 a4， a1 010， a2 016成等差数列，所以 2a1 010 a4 a2 016，即 a1 010 2，所以14loga1 010 12. 9 (2017 郑州模拟 )张丘建算经卷上第 22 题为： “ 今有女善织，日益功疾初日织五尺， 今一月日织九匹三丈 ” 其意思为今有女子善织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织 5 尺 布，现在一个月 (按 30 天计 )共织 390 尺布，则该女最后一天织 尺布 答案 21
