1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 变量间的相关关系、统计案例 最新考纲 考情考向分析 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用 4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用 . 回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等 . 1相关性 (1)通常将变 量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的
2、 散点图 (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为 曲线拟合 (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是 线性相关 的，若所有点看上去都在某条曲线 (不是一条直线 )附近波动，则称此相关是 非线性相关 的如果所有的点在散点图中没有显示 任何 关系，则称变量间是 不相关 的 2线性回归方程 (1)最小二乘法 如 果有 n 个点 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，可以用 y1 (a bx1)2 y2 (a bx2)2 ?
3、 yn (a bxn)2来刻画这些点与直线 y a bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线 y a bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法 (2)线性回归方程 方程 y bx a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)的线性回归方程，其中 a， b 是待定参数 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? bni 1 ?xi x ?yi y ?ni 1 ?xi x ?2ni 1xiyi n x yni 1x2i n x2，a y b x .3回归分析 (1)定义：对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种 常用方法 (2
4、)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)中， ( x ， y )称为样本点的中心 (3)相关系数 rni 1 ?xi x ?yi y ?ni 1 ?xi x ?2 ni 1 ?yi y ?2ni 1xiyi n x yni 1x2i n x2 ni 1y2i n y2； 当 r0 时，表明两个变量 正相关 ； 当 r2.706 时，有 90%的把握判定变量 A， B 有关联； 当 23.841 时，有 95%的把握判定变量 A， B 有关联； 当 26.635 时，有 99%的把握判定变量 A， B 有关联 题组一 思考辨
5、析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系 ( ) (2)“ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系 ( ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值 ( ) (4)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x() 之间的关系，得线性回归方程 y 2.352x 147.767，则气温为 2 时，一定可卖出 143 杯热饮 ( ) (5)事件 X， Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 2值越大 ( ) 题组二 教材改编 2为调查中学生近视情况，测得某校男生 150 名中有
6、 80 名近视，在 140 名女生中有 70 名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力 ( ) A回归分析 B均值与方差 C独立性检验 D概率 答案 C 解析 “ 近视 ” 与 “ 性别 ” 是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断 3下面是 22 列联表： y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 则表中 a， b 的值分别为 ( ) A 94,72 B 52,50 C 52,74 D 74,52 答案 C 解析 a 21 73， a 52.又 a 22 b， b 74. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4某车间
7、为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验根据 收集到的数据 (如下表 )，由最小二乘法求得回归方程 y 0.67x 54.9. 零件数 x(个 ) 10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为 _ 答案 68 解析 由 x 30，得 y 0.6730 54.9 75. 设表中的 “ 模糊数字 ” 为 a， 则 62 a 75 81 89 755 ， a 68. 题组三 易错自纠 5某医疗机构通过抽样调查 (样本容量 n 1 000)，利用 22 列联表和 2统计量研究患肺病是否与吸
8、烟有关计算得 2 4.453，经查阅临界值表知 P( 23.841)0.05 ，现给出四个结论，其中正确的是 ( ) A在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病 B若某人吸烟，那么他有 95%的可能性患肺病 C有 95%的把握认为 “ 患肺病与吸烟有关 ” D只有 5%的把握认为 “ 患肺病与吸烟有关 ” 答案 C 解析 由已知数据可得，有 1 0.05 95%的把握认为 “ 患肺病与吸烟有关 ” 6在一次考试中， 5 名学生的数学和物理成绩如下表： (已知学生的数学和物 理成绩具有线性相关关系 ) 学生的编号 i 1 2 3 4 5 数学成绩 x 80 75 70 65 60 物理成绩
9、 y 70 66 68 64 62 现已知其线性回归方程为 y 0.36x a，则根据此线性回归方程估计数学得 90 分的同学的物理成绩为 _ (四舍五入到整数 ) 答案 73 解析 x 60 65 70 75 805 70， y 62 64 66 68 705 66， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 66 0.3670 a， a 40.8， 即线性回归方程为 y 0.36x 40.8. 当 x 90 时， y 0.3690 40.8 73.273. 题型一 相关关系的判断 1观察下列各图形， 其中两个变量 x， y 具有相关关系的图是 ( ) A B C D 答案 C 解析 由散点图
10、知 中的点都分布在一条直线附近 中的点都分布在一条曲线附近，所以 中的两个变量具有相关关系 2 (2018 广州质检 )根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单位：万吨 )的条形统计图以下结论不正确的 是 ( ) A逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D 解析 从 2006 年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到 2008 年二氧化硫排放量与 2007 年排放量的差最大， A 选项
11、正确； 2007 年二氧化硫排放量较 2006 年降低了很多， B 选项正确； 虽然 2011 年二氧化硫排放量较 2010 年多一些，但自 2006 年以来，整体呈递减趋势， C 选项正 确； 自 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关， D 选项错误，故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 x 和 y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为 _ x， y 是负相关关系； 在该相关关系中，若用 y c1ec2x 拟合时的相关系数为 r1，用 y bx a 拟合时的相关系数为 r2，则 r1r2； x， y 之间不能建立线性回归方程 答案 解析 在散点图中，点散
12、布在从左上角到右下角的区域，因此 x， y 是负相关关系，故 正确；由散点图知用 y c1ec2x 拟合比用 y bx a 拟合效果要好，则 r1r2，故 正确； x， y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故 错误 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关 (2)相关系数： r0 时，正相关； r0 时，正相关； b6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 (3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值 (或中位数 )在 50 kg 到 55 kg之间，旧养殖法的
13、箱产量平均值 (或中位数 )在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为 新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法 思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 通过计算 2的大小判断： 2越大，两变量有关联的可能性越大 通过计算 |ad bc|的大小判断： |ad bc|越大，两变量有关联的可能性越大 (2)独立性检验的一般步骤 根据样本数据制成 22 列联表 根据公式 2 n?ad bc?2?a b?a c?b d?c d?计算 2的值 比较 2与临界值的大小关系，作统计推断 跟踪训练 (201
14、7 石家庄质检 )微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年 (年龄小于 40 岁 )和中年 (年龄不小于 40岁 )两个阶段，那么使用微信的人中 75%是青年人若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有 23是青年人 (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 22 列联表： 青年人 中年人 合计 经常使用微信 不 经常使用微信 合计 (2)根据 22 列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有 99.9%的把握认为 “ 经常使用微信与年龄有关 ” ？
