1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 1若直线 y kx 1 与椭圆 x25y2m 1 总有公共点，则 m 的取值范围是 ( ) A m1 B m0 C 00 且 m5 ， m1 且 m5. 2已知直线 l： y 2x m，椭圆 C： x24y22 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组? y 2x m， x24y22 1， 将 代入 ，整理得 9x2 8mx 2m2 4 0. 方程 根的判别式 (8
2、m)2 49(2 m2 4) 8m2 144. (1)当 0，即 3 23 2时，方程 没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数 (2)对于过定点的直线，也可以通过 定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 题型二 弦长及弦中点问题 命题点 1 弦长问题 典例 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 答案 C 解析 设
3、 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 直线 l 的方程为 y x t， 由? x2 4y2 4，y x t， 消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0， 则 x1 x2 85t， x1x2 4?t2 1?5 . | AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 4?t2 1?5 4 25 5 t2， 当 t 0 时， |AB|max 4 105 . 命题点 2 弦中点问题 典例 已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A， B 两点若 A
4、B 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( ) A.x245y236 1 B.x236y227 1 C.x227y218 1 D.x218y29 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 所以? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1运用点差法， 所以直线 AB 的斜率为 k b2a2， 设直线方程为 y b2a2(x 3)， 联立直线与椭 圆的方程得 (a2 b2)x2 6b2x 9b2 a4 0， 所以 x1 x2 6b2a2 b2 2， 又因为 a2 b2 9，解得 b2 9， a2 18. 命题点 3
5、椭圆与向量等知识的综合 典例 (2017 沈阳质检 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)， e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A， B，线段 AB 的中点横坐标为 14，且 AF FB (其中 1) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c 1，又 e 12， a 2， 故 b2 a2 c2 3， 椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. (2)由 AF FB ，可知 A， B， F 三点共线，设点 A(x1， y1)，点 B(x2， y2) 若直线 AB x 轴，则 x1 x2 1，不符合
6、题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时， 设 l 的方程为 y k(x 1) 由? y k?x 1?，x24y23 1，消去 y 得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0. 的判别式 64k4 4(4k2 3)(4k2 12) =【 ;精品教育资源文库 】 = 144(k2 1)0. ? x1 x2 8k24k2 3，x1x2 4k2 124k2 3 ， x1 x2 8k24k2 3 21412， k2 14. 将 k2 14代入方程 ，得 4x2 2x 11 0， 解得 x 13 54 . 又 AF (1 x1， y1)， FB (x2 1， y2)， AF FB ，
7、即 1 x1 (x2 1)， 1 x1x2 1，又 1， 3 52 . 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB| ?1 k2?x1 x2?2 4x1x2 ? ?1 1k2 ?y1 y2?2 4y1y2(k 为直线斜率 ) (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 跟踪训练 (2018 长春调研 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a
8、b0)的一个顶点为 B(0， 4)，离心率 e55 ，直线 l 交椭圆于 M， N 两点 (1)若直线 l 的方程为 y x 4，求弦 MN 的长； (2)如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 解 (1)由已知得 b 4，且 ca 55 ， 即 c2a215， a2 b2a2 15， 解得 a2 20， 椭圆方程为 x220y216 1. 将 4x2 5y2 80 与 y x 4 联立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 消去 y 得 9x2 40x 0， x1 0， x2 409 ， 所求弦长 |MN| 1 12|x2 x1| 40 29 . (2)椭圆右焦点
9、 F 的 坐标为 (2,0)， 设线段 MN 的中点为 Q(x0， y0)， 由三角形重心的性质知 BF 2FQ ， 又 B(0,4)， (2 ， 4) 2(x0 2， y0)， 即? 2 2?x0 2?， 4 2y0， 故得 x0 3， y0 2， 即 Q 的坐标为 (3， 2) 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 x1 x2 6， y1 y2 4， 且 x2120y2116 1，x2220y2216 1， 以上两式相减得 ?x1 x2?x1 x2?20 ?y1 y2?y1 y2?16 0， kMN y1 y2x1 x2 45 x1 x2y1 y2 45 6 4 65， 故直
10、线 MN 的方程为 y 2 65(x 3)， 即 6x 5y 28 0. 高考中求椭圆的离心率问题 考点分析 离心率是椭圆的重要性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a， b， c 的关系式 (等式或不等式 )，并且最后要把其中=【 ;精品教育资源文库 】 = 的 b 用 a， c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 典例 1 已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线
11、l： 3x 4y 0 交椭圆 E 于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 E的离心率的取值范围是 ( ) A.? ?0， 32 B.? ?0， 34 C.? ?32 ， 1 D.? ?34， 1 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A， F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 | AF| |BF| 4， | AF| |AF0| 4， a 2. 设 M(0， b)，则 M 到直线 l 的距离 d 4b5 45， 1 b 2. 离心率 e ca c2a2a2 b2a2 4 b24 ?0， 32 ， 故选 A. 答案 A 典例 2 (12 分 )
12、如图，设椭圆方程为 x2a2 y2 1(a 1) (1)求直线 y kx 1 被椭圆截得的线段长 (用 a， k 表示 )； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 (1)设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为 AM， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? y kx 1，x2a2 y2 1， 得 (1 a2k2)x2 2a2kx 0， 2 分 故 x1 0， x2 2a2k1 a2k2， 因此 |AM| 1 k2|x1 x2| 2a2|k|1 a2k2 1 k2.4 分 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y
13、 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P， Q，满足 |AP| |AQ|. 记直线 AP， AQ 的斜率分别为 k1， k2， 且 k10， k2 0， k1 k2.5 分 由 (1)知 |AP| 2a2|k1| 1 k211 a2k21 ， |AQ| 2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 故 2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 所以 (k21 k22)1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0.7 分 由 k1 k2， k10， k2 0 得 1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0， 因此 ? ?1k21 1 ?
14、?1k22 1 1 a2(a2 2)， 因为 式关于 k1， k2的方程有解的充要条件是 1 a2(a2 2) 1，所以 a 2. 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 a 2， 10分 由 e ca a2 1a2 11a2，得 02，即 m2 n2b0)，则 c 1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A， B 两点，且 |AB| 3，所以 b2a32， b2 a2 c2，所以 a2 4， b2 a2 c2 4 1 3，椭圆的方程为 x24y23 1. 5从椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点
15、F1， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 ( ) A. 24 B.12 C. 22 D. 32 答案 C 解析 由题意可设 P( c， y0)(c 为半焦距 )， kOP y0c， kAB ba，由于 OP AB， y0c ba， y0 bca ， 把 P? ? c， bca 代入椭圆方程得 ? c?2a2 ?bca2b2 1， ? ?ca 2 12， e ca 22 .故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P， Q 两点，若 PF1F2为直角三角形，则椭圆 E 的离心率为 ( ) A. 53 B.23 C. 23 D.13 答案 A 解析 由题意可知， F1PF2是直角，且 tan PF1F2 2， |PF2|PF1| 2， 又 |PF1| |PF2| 2a， | PF1| 2a3 ， |PF2| 4a3. 根据勾股定理得 ? ?2a3 2 ? ?4a3 2 (2c)2， 离心率 e ca 53 .
