1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1.(2016 全国 卷 )圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1， 则a ( ) A. 43 B. 34 C. 3 D.2 解析 由圆的方程 x2 y2 2x 8y 13 0 得圆心坐标为 (1， 4)， 由点到直线的距离公式得 d |1 a 4 1|1 a2 1， 解之得 a 43. 答案 A 2.(2017 景德镇 模拟 )过点 (3， 1)作圆 (x 1)2 y2 r2的切线有且只有一条 ，则该切线的方程为 ( ) A.2x y 5 0 B.2x y 7 0
2、 C.x 2y 5 0 D.x 2y 7 0 解析 过点 (3， 1)作圆 (x 1)2 y2 r2 的切线有且只有一条 ， 点 (3， 1)在圆 (x 1)2 y2 r2上 ， 圆心与切点连线的斜率 k 1 03 1 12， 切线的斜率为 2， 则圆的切线方程为 y 1 2(x 3)，即 2x y 7 0.故选 B. 答案 B 3.已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线 x y 2 0 所得弦的长度为 4， 则实数 a 的值是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析 将圆的方程化为标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 a， 所以圆心为 ( 1， 1)， 半径r 2
3、a， 圆心到直线 x y 2 0 的距离 d | 1 1 2|2 2， 故 r2 d2 4， 即 2 a 2 4， 所以 a 4， 故选 B. 答案 B 4.圆 x2 2x y2 4y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离为 2的点共有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 圆的方程化为 (x 1)2 (y 2)2 8， 圆心 ( 1， 2)到直线距离 d | 1 2 1|2 2， 半径是 2 2， 结合图形可知有 3 个符合条件的点 . 答案 C 5.(2017 福州模拟 )过点 P(1， 2)作圆 C： (x 1)2 y2 1
4、的两条切线 ， 切点分别为 A，B， 则 AB 所在直线的方程为 ( ) A.y 34 B.y 12 C.y 32 D.y 14 解析 圆 (x 1)2 y2 1 的圆心为 (1， 0)， 半径为 1， 以 |PC| （ 1 1） 2（ 2 0） 2 2 为直径的圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 1， 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y 1 0， 即 y 12. 故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2016 全国 卷 ) 已知直线 l： x 3y 6 0 与圆 x2 y2 12 交于 A， B 两点 ， 过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点 ，
5、则 |CD| _. 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 ?x 3y 6 0，x2 y2 12， 得 y2 3 3y 6 0， 解得 y1 3， y2 2 3， A( 3， 3)， B(0， 2 3). 过 A， B 作 l 的垂线方程分别为 y 3 3(x 3)， y 2 3 3x， 令 y 0， 得 xC 2， xD 2， |CD| 2 ( 2) 4. 答案 4 7.(2017 兰州月考 )点 P 在圆 C1： x2 y2 8x 4y 11 0 上 ， 点 Q 在圆 C2： x2 y2 4x2y 1 0 上 ， 则 |PQ|的最小值是 _. 解析 把圆 C1、圆 C2的
6、方程都化成标准形式 ， 得 (x 4)2 (y 2)2 9， (x 2)2 (y 1)2 4. 圆 C1的圆心坐标 是 (4， 2)， 半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是 ( 2， 1)， 半径是 2. 圆心距 d （ 4 2） 2（ 2 1） 2 3 5. 所以 ， |PQ|的最小值是 3 5 5. 答案 3 5 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.(2017 铜川 一模 )由直线 y x 1 上的一点向圆 (x 3)2 y2 1 引切线 ， 则切线长的最小值为 _. 解析 设直线上一点为 P， 切点为 Q， 圆心为 M， 则 |PQ|即切线长 ， MQ 为圆 M 的半径 ， 长度为
7、1， |PQ| |PM|2 |MQ|2 |PM|2 1. 要使 |PQ|最小 ， 即求 |PM|的最小值 ， 此题转化为求直线 y x 1 上的点到 圆心 M 的最小距离 . 设圆心到直线 y x 1的距离为 d， 则 d |3 0 1|12（ 1） 2 2 2.所以 |PM|的最小值为 2 2.所以 |PQ| |PM|2 1 （ 2 2） 2 1 7. 答案 7 三、解答题 9.(2015 全国 卷 )已知过点 A(0， 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1交于 M， N 两点 . (1)求 k 的取值范围； (2)若 OM ON 12， 其中 O 为坐标
8、原点 ， 求 |MN|. 解 (1)易知圆心坐标为 (2， 3)， 半径 r 1， 由题设 ， 可知直线 l 的方程为 y kx 1， 因为 l 与 C 交于两点 ， 所以 |2k 3 1|1 k2 0， 所以不论 k 为何实数 ， 直线 l 和圆 C 总有两个交点 . (2)解 设直线与圆交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点 ， 则直线 l 被圆 C 截得 的弦长 |AB| 1 k2|x1 x2| 2 8 4k 11k21 k2 2 114k 31 k2， 令 t 4k 31 k2， 则 tk2 4k (t 3) 0， 当 t 0 时 ， k 34， 当 t0 时 ， 因为 k
9、 R， 所以 16 4t(t 3)0 ， 解得 1 t4 ， 且 t0 ， 故 t 4k 31 k2的最大值为 4， 此时 |AB|最小为 2 7. 法二 (1)证明 因为不论 k 为何实数 ， 直线 l 总过点 P(0， 1)， 而 |PC| 52 3 R，所以点 P(0， 1)在圆 C 的内部 ， 即不论 k 为何实数 ， 直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以不论 k 为何实数 ， 直线 l 和圆 C 总有两个交点 . (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0， 1)的弦 ， 只有与 PC(C 为圆心 )垂直时 才最短，而此时点 P(0， 1)为弦 AB 的中点 ， 由勾股定理
10、 ， 知 |AB| 2 12 5 2 7， 即直线 l 被圆C 截得的最短弦长为 2 7. 11.(2017 衡水中学月考 )两圆 x2 y2 2ax a2 4 0 和 x2 y2 4by 1 4b2 0 恰有三条公切线 ， 若 a R， b R 且 ab0 ， 则 1a2 1b2的最小值为 ( ) A.1 B.3 C.19 D.49 解析 x2 y2 2ax a2 4 0， 即 (x a)2 y2 4， x2 y2 4by 1 4b2 0， 即 x2 (y2b)2 1.依题意可得 ， 两圆外切 ， 则两圆圆心距离等于两圆的半径之和 ， 则 a2（ 2b） 2 1 2 3， 即 a2 4b2
11、9， 所以 1a2 1b2 ? ?1a2 1b2 ? ?a2 4b29 19?5 a2b24b2a2 19?5 2 a2b24b2a2 1， 当且仅当a2b24b2a2 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 即 a 2b 时取等号 . 答案 A 12.(2015 山东卷 )一条光线从点 ( 2， 3)射出 ， 经 y 轴反射后与圆 (x 3)2 (y 2)2 1 相切 ， 则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A. 53或 35 B. 32或 23 C. 54或 45 D. 43或 34 解析 由已知 ， 得点 ( 2， 3)关于 y 轴的对称点为 (2， 3)， 由入射光线与反射光线的对称性 ，
12、 知反射光线一定过点 (2， 3).设反射光线所在直线的斜率为 k， 则反射光线所在直线的方程为 y 3 k(x 2)， 即 kx y 2k 3 0.由反射光线与圆相切 ， 则有 d| 3k 2 2k 3|k2 1 1， 解得 k43或 k34， 故选 D. 答案 D 13.已知曲线 C： x 4 y2， 直线 l： x 6， 若对于点 A(m， 0)， 存在 C 上的点 P 和 l上的点 Q 使得 AP AQ 0， 则 m 的取值范围为 _. 解析 曲线 C： x 4 y2， 是以原点为圆心 ， 2 为半径的半圆 ， 并且 xP 2， 0， 对于点 A(m， 0)， 存在 C 上的点 P 和
13、 l 上的点 Q 使得 AP AQ 0， 说明 A 是 PQ 的中点 ， Q 的横坐标 x 6， m 6 xP2 2， 3. 答案 2， 3 14.(2017 湖南省东部六校联考 )已知直线 l： 4x 3y 10 0， 半径 为 2 的圆 C 与 l 相切 ，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方 . (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1， 0)的直线与圆 C 交于 A， B 两点 (A 在 x 轴上方 )， 问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N， 使得 x 轴平分 ANB？若存在 ， 请求出点 N 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 . 解 (1)设圆心 C(a， 0)? ?a
14、 52 ， 则 |4a 10|5 2?a 0 或 a 5(舍 ). 所以圆 C 的方程为 x2 y2 4. (2)当直线 AB x 轴时 ， x 轴平分 ANB. 当直线 AB 的斜率存在时 ， 设直线 AB 的方程为 y k(x 1)， N(t， 0)， A(x1， y1)， B(x2，y2)， 由?x2 y2 4，y k（ x 1） ， 得 (k2 1)x2 2k2x k2 4 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 x1 x2 2k2k2 1， x1x2k2 4k2 1. 若 x 轴平分 ANB， 则 kAN kBN? y1x1 t y2x2 t 0?k（ x1 1）x1 t k（ x2 1）x2 t 0?2x1x2 (t 1)(x1 x2) 2t 0?2（ k2 4）k2 1 2k2（ t 1）k2 1 2t 0?t 4， 所以当点 N 为 (4，0)时 ， 能 使得 ANM BNM 总成立 .
