1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 抛物线 一、选择题 1 (2016 全国 卷 )设 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，曲线 y kx(k0)与 C 交于点 P， PFx 轴，则 k ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 解析 由题可知抛物线的焦点坐标为 (1,0)，由 PF x 轴知， |PF| 2，所以 P 点的坐标为 (1,2)，代入曲线 y kx(k0)得 k 2，故选 D. 答案 D 2点 M(5,3)到抛物线 y ax2(a0) 的准线的距离为 6，那么抛物线的 方程是 ( ) A y 12x2 B y 12x2或 y 36x2 C y 36x2 D y 1
2、12x2或 y 136x2 解析 分两类 a0， a0)的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2 p2， x1x2 p24； (2) 1|AF| 1|BF|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为 (p2， 0) 由题意可设直线方程为 x my p2，代入 y2 2px， 得 y2 2p(my p2)，即 y2 2pmy p2 0.(*) 则 y1， y2是方程 (*)的两个实数根， 所以 y1y2 p2. 因为 y21 2px1， y22 2px2，所以 y21y22
3、 4p2x1x2， 所以 x1x2 y21y224p2p44p2p24. (2) 1|AF| 1|BF| 1x1 p2 1x2 p2 x1 x2 px1x2 p2 x1 x2 p24. 因为 x1x2 p24， x1 x2 |AB| p，代入上式， 得 1|AF| 1|BF| |AB|p24p2 AB| p p24 2p(定值 ) (3) 设 AB 的中点为 M(x0， y0)，分别过 A， B 作准线的垂线，垂足为 C， D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 |MN| 12(|AC| |BD|) 12(|AF| |BF|)12|AB|. 所以以 AB
4、为直径的圆与抛物线的准线相切 11 (2017 汉中模拟 )已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 y1y2x1x2的值一定等于 ( ) A 4 B 4 C p2 D p2 解析 若焦点弦 AB x 轴，则 x1 x2 p2，则 x1x2 p24； 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB： y k(x p2)， 联立 y2 2px 得 k2x2 (k2p 2p)x p2k24 0， 则 x1x2 p24.又 y21 2px1， y22 2px2， y21y22 4p2x1x2 p4，又 y1y2 0， y1y2 p2
5、. 故 y1y2x1x2 4. 答案 A 12 (2016 四川卷 )设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 |PM| 2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为 ( ) A. 33 B.23 C. 22 D 1 解析 如图， 由题可知 F? ?p2， 0 ，设 P 点坐标为 ? ?y202p， y0 (y0 0)，则 OM OF FM OF 13FP OF 13(OP=【 ;精品教育资源文库 】 = OF ) 13OP 23OF ? ?y206pp3，y03 ， kOMy03y206pp3 2y0p2py0 22 2
6、22 ，当且仅当 y20 2p2 等号成立故选 C. 答案 C 13 (2016 湖北七校联考 )已知抛物线方程为 y2 4x，直线 l 的方程为 2x y 4 0，在抛物线上有一动点 A，点 A 到 y 轴的距离为 m，到直线 l 的距离为 n，则 m n 的最小值为 _ 解析 如图，过 A 作 AH l， AN 垂直于抛物线的准线，则 |AH| |AN| m n 1，连接AF，则 |AF| |AH| m n 1，由 平面几何知识，知当 A， F， H 三点共线时， |AF| |AH| m n 1 取得最小值，最小值为 F 到直线 l 的距离，即 65 6 55 ，即 m n 的最小值为 6
7、 55 1. 答案 6 55 1 14 (2017 南昌模拟 )已知抛物线 C1： y2 4x 和 C2： x2 2py(p 0)的焦点分别为 F1， F2，点 P( 1， 1)，且 F1F2 OP(O 为坐标原点 ) (1)求抛物线 C2的方程； (2)过点 O 的直线交 C1的下半 部分于点 M，交 C2的左半部分于点 N，求 PMN 面积的最小值 解 (1)由题意知 F1(1,0)， F2? ?0， p2 ， F1F2 ? ? 1， p2 ， F1F2 OP， F1F2 OP ? ? 1， p2 ( 1， 1) 1 p2 0， p 2， 抛物线 C2的方程为 x2 4y. (2)设过点
8、O 的直线为 y kx(k 0)， 联立? y kx，y2 4x 得 M?4k2，4k ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立? y kx.x2 4y 得 N(4k,4k2)， 从而 |MN| 1 k2? ?4k2 4k 1 k2? ?4k2 4k ， 又点 P 到直线 MN 的距离 d |k 1|1 k2， 进而 S PMN 12 |k 1|1 k2 1 k2 ? ?4k2 4k 2 k k3k2 k 2 k k2k2 2? ?k 1k 2 ? ?k 1k 1 ， 令 t k 1k(t 2)，则有 S PMN 2(t 2)(t 1)， 当 t 2 时，此时 k 1， S PMN取得最小值即当过点 O 的直线为 y x 时， PMN面积的最小值为 8.
