1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 课时 直线与圆锥曲线 一、选择题 1过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线 ( ) A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条 解析 通径 2p 2，又 |AB| x1 x2 p， |AB| 3 2p，故这样的直线有且只有两条 答案 B 2直线 y bax 3 与双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的交点个数是 ( ) A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 解析 因为直线 y bax 3 与双曲线的渐近线 y bax 平行，所以它与双曲线只有 1 个交
2、点 答案 A 3经过椭圆 x22 y2 1 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l，交椭圆于 A， B 两点，设 O 为坐标原点，则 OA OB 等于 ( ) A 3 B 13 C 13或 3 D 13 解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点 (1,0)时，其方程为 y 0 tan 45( x 1)，即 y x 1，代入椭圆方程 x22 y2 1 并整理得 3x2 4x 0，解得 x 0 或 x 43，所以两个交点坐标分别为 (0， 1)， ? ?43， 13 ， OA OB 13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 OA OB 13. 答案 B 4抛物线 y x2到直线 x y
3、2 0 的最短距离为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 2 B.7 28 C 2 2 D.5 26 解析 设抛物线上一点的坐标为 (x， y)，则 d |x y 2|2 | x2 x 2|2 ?x 122 742 ， x 12时， dmin 7 28 . 答案 B 5已知 A， B， P 是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)上不同的三点，且 A， B 连线经过坐标原点，若直线 PA， PB 的斜率乘积 kPA kPB 23，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 52 B. 62 C. 2 D. 153 解析 设 A(x1， y1)， P(x2， y2)根据对称性，得
4、B 点坐标为 ( x1， y1)，因为 A， P 在双曲线上， 所以? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减，得 kPAkPB b2a223， 所以 e2 a2 b2a2 53，故 e153 . 答案 D 二、填空题 6 (2017 西安调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)， F( 2， 0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 _ 解析 由题意得? c 2，b2a 1，a2 b2 c2，解得 ? a 2，b 2， 椭圆 C 的方程为x24y22 1. 答案 x24y22 1 7已知抛物线 y
5、 ax2(a 0)的焦点到准线的距离为 2，则直线 y x 1 截抛物线所得的弦=【 ;精品教育资源文库 】 = 长等于 _ 解析 由题设知 p 12a 2， a 14. 抛物线方程为 y 14x2，焦点为 F(0,1)，准线为 y 1. 联立? y 14x2，y x 1，消去 x， 整理得 y2 6y 1 0， y1 y2 6， 直线过焦点 F， 所得弦 |AB| |AF| |BF| y1 1 y2 1 8. 答案 8 8过椭圆 x216y24 1 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 _ 解析 设直线与椭圆交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， 由于 A，
6、B 两点均在椭圆上， 故 x2116y214 1，x2216y224 1， 两式相减得 x1 x2 x1 x216 y1 y2 y1 y24 0. 又 P 是 A， B 的中点， x1 x2 6， y1 y2 2， kAB y1 y2x1 x2 34. 直线 AB 的方程为 y 1 34(x 3) 即 3x 4y 13 0. 答案 3x 4y 13 0 三、解答题 9设 F1， F2分别是椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点，过 F1且斜率为 1 的直线 l 与E 相交于 A， B 两点，且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列 (1)求 E 的离心率； (2)
7、设点 P(0， 1)满足 |PA| |PB|，求 E 的方程 解 (1)由椭圆定义知 |AF2| |BF2| |AB| 4a， 又 2|AB| |AF2| |BF2|，得 |AB| 43a， l 的方程为 y x c，其中 c a2 b2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点的坐标满足方程组? y x c，x2a2y2b2 1，消去 y，化简得 (a2 b2)x2 2a2cx a2(c2 b2) 0，则 x1 x2 2a2ca2 b2， x1x2a2 c2 b2a2 b2 . 因为直线 AB的 斜率为 1，所以 |AB| 2|x2
8、 x1| x1 x2 2 4x1x2，即 43a 4ab2a2 b2，故 a2 2b2， 所以 E 的离心率 e ca a2 b2a 22 . (2)设 AB 的中点为 N(x0， y0)，由 (1)知 x0 x1 x22 a2ca2 b22c3 ， y0 x0 cc3. 由 |PA| |PB|，得 kPN 1，即 y0 1x0 1， 得 c 3，从而 a 3 2， b 3. 故椭圆 E 的方程为 x218y29 1. 10.已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为22 .直线 y k(x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N. (1)求椭圆 C
9、的方程； (2)当 AMN 的面积为 103 时，求 k 的值 解 (1)由题意得? a 2，ca22 ，a2 b2 c2.解得 b 2，所以椭圆 C 的方程为 x24y22 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由? y k x ，x24y22 1，得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 4 0. 设点 M， N 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则 y1 k(x1 1)， y2 k(x2 1)， x1 x2 4k21 2k2， x1x22k2 41 2k2， 所以 |MN| x2 x1 2 y2 y1 2 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 k2 6k21
10、2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y k(x 1)的距离 d |k|1 k2， 所以 AMN 的面积为 S 12|MN| d |k| 4 6k21 2k2 ，由|k| 4 6k21 2k2 103 ，解得 k 1. 11已知椭圆 x24y2b2 1(0 b 2)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A， B两点，若 |BF2| |AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 ( ) A 1 B. 2 C.32 D. 3 解 析 由椭圆的方程，可知长半轴长为 a 2，由椭圆的定义，可知 |AF2| |BF2| |AB| 4a 8， 所以 |AB| 8 (|AF2| |BF
11、2|)3. 由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即 2b2a 3，可求得 b2 3，即 b 3. 答案 D 12抛物线 C1： y 12px2(p 0)的焦点与双曲线 C2： x23 y2 1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p ( ) A. 316 B. 38 C.2 33 D.4 33 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线 C2： x23 y2 1， 右焦点为 F(2,0)，渐近线方程为 y 33 x. 抛物线 C1： y 12px2(p 0)，焦点为 F ? ?0， p2 .设 M(x0， y0)，则
12、y0 12px20. kMF kFF ， 12px20p2x0 p2 2. 又 y 1px， y| x x0 1px0 33 . 由 得 p 4 33 . 答案 D 13设抛物线 y2 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PA l， A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 3，那么 |PF| _. 解析 直线 AF 的方程为 y 3(x 2)，联立 ? y 3x 2 3，x 2， 得 y 4 3，所以P(6,4 3) 由抛物线的性质可知 |PF| 6 2 8. 答案 8 14已知抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F，直线 y 4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点
13、为Q，且 |QF| 54|PQ|. (1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相交于 M， N 两点，且 A， M， B， N 四点在同一圆上，求 l 的方程 解 (1)设 Q(x0,4)，代入 y2 2px 得 x0 8p. 所以 |PQ| 8p， |QF| p2 x0 p2 8p. 由题设得 p2 8p 54 8p， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 p 2(舍去 )或 p 2.所以 C 的方程为 y2 4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x my 1(m0) 代入 y2 4x
14、得 y2 4my 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 4m， y1y2 4. 故 AB 的中点为 D(2m2 1,2m)， |AB| m2 1|y1 y2| 4(m2 1) 又 l 的斜率为 m，所以 l 的方程为 x 1my 2m2 3. 将上式代入 y2 4x，并整理得 y2 4my 4(2m2 3) 0. 设 M(x3， y3)， N(x4， y4)，则 y3 y4 4m， y3y4 4(2m2 3) 故 MN 的中点为 E? ?2m2 2m2 3， 2m ， |MN| 1 1m2|y3 y4| 4 m2 1 2m2 1m2 . 由于 MN 垂直平分 AB， 故 A， M， B， N 四点在同一圆上等价于 |AE| |BE| 12|MN|， 从而 14|AB|2 |DE|2 14|MN|2， 即 4(m2 1)2 ? ?2m 2m 2 ? ?2m2 2 2 m2 2 m2m4 . 化简得 m2 1 0，解得 m 1 或 m 1. 所求直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 1 0.
