1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 曲线与方程 一、选择题 1.方程 (2x 3y 1)( x 3 1) 0 表示的曲线是 ( ) A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线 解析 原方程可化为?2x 3y 1 0，x 30 或 x 3 1 0， 即 2x 3y 1 0(x3) 或 x 4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线 . 答案 D 2.(2017 衡水模拟 )若方程 x2 y2a 1(a 是常数 )， 则下列结论正确的是 ( ) A.任意实数 a 方程表示椭圆 B.存在实数 a 方程表 示椭圆 C.任意实数 a 方程表示双曲线 D.存在实数 a 方程
2、表示抛物线 解析 当 a0 且 a1 时 ， 方程表示椭圆 ， 故选 B. 答案 B 3.(2017 南昌 模拟 )设圆 (x 1)2 y2 25 的圆心为 C， A(1， 0)是圆内一定点 ， Q 为圆周上任一点 .线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M， 则 M 的轨迹方程为 ( ) A.4x2214y225 1 B.4x2214y225 1 C.4x2254y221 1 D.4x2254y221 1 解析 M 为 AQ 的垂直平分线上一点 ， 则 |AM| |MQ|， |MC| |MA| |MC| |MQ| |CQ| 5， 故 M 的轨迹是以定点 C， A 为焦点的椭圆 .
3、a 52， c 1， 则 b2 a2 c2 214 ， M 的轨迹方程为 4x2254y221 1. 答案 D 4.设点 A 为圆 (x 1)2 y2 1 上的动点 ， PA 是圆的切线 ， 且 |PA| 1， 则点 P 的轨迹方程是 ( ) A.y2 2x B.(x 1)2 y2 4 C.y2 2x D.(x 1)2 y2 2 解析 如图 ， 设 P(x， y)， 圆心为 M(1， 0)， 连接 MA， 则 MA PA， 且|MA| 1， 又 | PA| 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = |PM| |MA|2 |PA|2 2， 即 |PM|2 2， (x 1)2 y2 2. 答案 D
4、5.平面直角坐标系中 ， 已知两点 A(3， 1)， B( 1， 3)， 若点 C 满足 OC 1OA 2OB (O 为原点 )， 其中 1， 2 R， 且 1 2 1， 则点 C 的轨迹是 ( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 解析 设 C(x， y)， 因为 OC 1OA 2OB ， 所以 (x， y) 1(3， 1) 2( 1， 3)， 即?x 3 1 2，y 1 3 2， 解得? 1 y 3x10 ， 2 3y x10 ，又 1 2 1， 所以 y 3x10 3y x10 1， 即 x 2y 5 ， 所以点 C 的轨迹为直线 ， 故选 A. 答案 A 二、填空题 6.已知两定
5、点 A( 2， 0)， B(1， 0)， 如果动点 P 满足 |PA| 2|PB|， 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为 _. 解析 设 P(x， y)， 由 |PA| 2|PB|， 得 （ x 2） 2 y2 2 （ x 1） 2 y2， 3x2 3y2 12x 0， 即 x2 y2 4x 0. P 的轨迹为以 (2， 0)为圆心 ， 半径为 2 的圆 . 即轨迹所包围的面积等于 4 . 答案 4 7.已知点 A(1， 0)， 直线 l： y 2x 4， 点 R 是直线 l 上的一点 ， 若 RA AP ，则点 P 的轨迹方程为 _. 解析 设 P(x， y)， R(x1， y1)， 由
6、RA AP 知 ， 点 A 是线段 RP 的中点 ， ?x x12 1，y y12 0，即?x1 2 x，y1 y. =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 R(x1， y1)在直线 y 2x 4 上 ， y1 2x1 4， y 2(2 x) 4， 即 y 2x. 答案 y 2x 8.在 ABC 中 ， |BC | 4， ABC 的内切圆切 BC 于 D 点 ， 且 |BD | |CD | 2 2， 则顶点 A的轨迹方程为 _. 解析 以 BC 的中点为原点 ， 中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系 ， E， F 分别为两个切点 . 则 |BE| |BD|， |CD| |CF|， |AE| |A
7、F|. |AB| |AC| 2 2 |BC| 4， 点 A 的轨迹为以 B， C 的焦点的双曲线的右支 (y0) 且 a 2， c 2， b 2， 轨迹方程为 x22y22 1(x 2). 答案 x22y22 1(x 2) 三、解答题 9.如图所示 ， 动圆 C1： x2 y2 t2， 13) D.x216y29 1(x4) 解析 如图 ， |AD| |AE| 8， |BF| |BE| 2， |CD| |CF|， 所以|CA| |CB| 8 2 63). 答 案 C 12.已知两点 M( 2， 0)， N(2， 0)， 点 P 为坐标平面内的动 点，满足 |MN | |MP | MN NP 0
8、， 则动点 P(x， y)的轨迹方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.y2 8x B.y2 8x C.y2 4x D.y2 4x 解析 MN (4， 0)， MP (x 2， y)， NP (x 2， y). |MN | 4， |MP | （ x 2） 2 y2， MN NP 4(x 2).根据已知条件得 4 （ x 2） 2 y2 4(2 x). 整理得 y2 8x. 点 P 的轨迹方程为 y2 8x. 答案 B 13.如图 ， P 是椭圆 x2a2y2b2 1 上的任意一点 ， F1， F2是它的两个焦点 ，O 为坐标原点 ， 且 OQ PF1 PF2 ， 则动点 Q 的轨
9、迹方程是 _. 解析 由于 OQ PF1 PF2 ， 又 PF1 PF2 PM 2PO 2OP ， 设 Q(x， y)， 则 OP 12OQ ? ? x2， y2 ， 即 P 点坐标为 ? ? x2， y2 ， 又 P 在椭圆上 ， 则有? x22a2 ? y22b2 1， 即x24a2y24b2 1. 答案 x24a2y24b2 1 14.(2016 全国 卷 )已知抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F， 平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点 ， 交 C 的准线于 P， Q 两点 . (1)若 F 在 线段 AB 上 ， R 是 PQ 的中点 ， 证明： A
10、R FQ； (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍 ， 求 AB 中点的轨迹方程 . 解 由题设 F? ?12， 0 ， 设 l1： y a， l2： y b， 则 ab0 ， 且 A? ?a22， a ， B?b22， b ， P? 12， a ， Q? 12， b ， R? 12，a b2 . 记过 A， B 两点的直线为 l， 则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. (1)证明 由于 F 在线段 AB 上 ， 故 1 ab 0. 记 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2， 则 k1 a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b k2. 所以 AR FQ.
11、 (2)设过 AB 的直线为 l， 设 l 与 x 轴的交点为 D(x1， 0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 S ABF 12|b a|FD| 12|b a|? ?x112 ， S PQF |a b|2 .由 题设可得 |b a|? ?x112 |a b|2 ， 所以 x1 1， x1 0(舍 去 ). 设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y). 当 AB 与 x 轴不垂直时 ， 由 kAB kDE可得 2a b yx 1(x1). 而 a b2 y， 所以 y2 x 1(x1). 当 AB 与 x 轴垂直时 ， E 与 D 重合 . 所以 ， 所求轨迹方程为 y2 x 1.
