1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 数列求和 一、选择题 1等差数列 an的通项公式为 an 2n 1，其前 n 项和为 Sn，则数列 ? ?Snn 的前 10 项的和为 ( ) A 120 B 70 C 75 D 100 解析 因为 Snn n 2， 所以 ? ?Snn 的前 10 项和为 103 1092 75. 答案 C 2数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn 1 2 3 4 ( 1)n 1 n，则 S17 ( ) A 9 B 8 C 17 D 16 解析 S17 1 2 3 4 5 6 15 16 17 1 ( 2 3) ( 4 5) ( 6 7) ( 14 15)
2、( 16 17) 1 1 1 1 9. 答案 A 3数列 an的通项公式为 an ( 1)n 1(4 n 3)，则它的前 100 项之和 S100等于 ( ) A 200 B 200 C 400 D 400 解析 S100 (41 3) (42 3) (43 3) (4100 3) 4(1 2) (3 4) (99 100) 4( 50) 200. 答案 B 4 (2017 高安中学模拟 )已知数列 5,6,1， 5， ，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16等于 ( ) A 5 B 6 C 7 D 16 解析 根据题意这个数列的前 7 项
3、分别为 5,6,1， 5， 6， 1,5,6，发现从第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 5 6 1 ( 5) (6) ( 1) 0. 又因为 16 26 4，所以这个数列的前 16 项之和 S16 20 7 7.故选 C. 答案 C 5已知数列 an满足 a1 1， an 1 an 2n(n N )，则 S2 016 ( ) A 22 016 1 B 32 1 008 3 C 32 1 008 1 D 32 1 007 2 解析 a1 1， a2 2a1 2，又 an 2 an 1an 1 an 2n 12n 2.an 2an 2. a1， a3，
4、a5， 成等比数列；=【 ;精品教育资源文库 】 = a2， a4， a6， 成等比数列， S2 016 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a2 015 a2 016 (a1 a3 a5 a2 015) (a2 a4 a6 a2 016) 1 21 0081 2 21 0081 2 321 008 3.故选 B. 答案 B 二、填空题 6 (2016 上饶模拟 )有穷数列 1,1 2,1 2 4， ， 1 2 4 2n 1 所有项的和为_ 解析 由题意知所求数列的通项 为 1 2n1 2 2n 1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为 2n1 2 n 2n 1 2 n. 答案 2n 1
5、 2 n 7 (2016 宝鸡模拟 )数列 an满足 an an 1 12(n N )，且 a1 1， Sn是数列 an的前 n 项和，则 S21 _. 解析 由 an an 1 12 an 1 an 2， an 2 an， 则 a1 a3 a5 a21， a2 a4 a6 a20， S21 a1 (a2 a3) (a4 a5) (a20 a21) 1 10 12 6. 答案 6 8 (2017 安阳二模 )已知数列 an中， an 4n 5，等比数列 bn的公比 q 满足 q an an 1(n2) 且 b1 a2，则 |b1| |b2| |b3| |bn| _. 解析 由已知得 b1 a2
6、 3， q 4， bn ( 3)( 4)n 1， |bn| 34 n 1，即 |bn|是以 3 为首项， 4 为公比的等比数列， |b1| |b2| |bn| 4n1 4 4n 1. 答案 4n 1 三、解答题 9 (2016 北京卷 )已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2 3， b3 9， a1 b1， a14b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和 解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? b2 b1q 3，b3 b1q2 9 得 ? b1 1，q 3. bn
7、b1qn 1 3n 1， 又 a1 b1 1， a14 b4 34 1 27， 1 (14 1)d 27，解得 d 2. an a1 (n 1)d 1 (n 1)2 2n 1(n 1,2,3， ) (2)由 (1)知 an 2n 1， bn 3n 1，因此 cn an bn 2n 1 3n 1. 从而数列 cn的前 n 项和 Sn 1 3 (2n 1) 1 3 3n 1 n 2n2 1 3n1 3 n2 3n 12 . 10 (2017 铜川一模 )已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 Sn 12an 1(n N ) (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn log13(1 Sn 1
8、)(n N )，令 Tn 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1，求 Tn. 解 (1)当 n 1 时， a1 S1， 由 S1 12a1 1，得 a1 23， 当 n2 时， Sn 1 12an， Sn 1 1 12an 1， 则 Sn Sn 1 12(an 1 an)，即 an 12(an 1 an)， 所以 an 13an 1(n2) 故数列 an是以 23为首项， 13为公比的等比数列 故 an 23 ? ?13 n 1 2 ? ?13 n(n N ) (2)因为 1 Sn 12an ? ?13 n. 所以 bn log13(1 Sn 1) log13? ?13 n 1 n 1， 因为
9、 1bnbn 1 1n n 1n 1 1n 2， 所以 Tn 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1=【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?12 13 ? ?13 14 ? ?1n 1 1n 2 12 1n 2 nn . 11 (2016 郑州模拟 )已知数列 an的通项公式为 an 1n n n n 1(n N )，其前n 项和为 Sn，则在数列 S1， S2， ， S2 016中，有理数项的项数为 ( ) A 42 B 43 C 44 D 45 解析 an 1n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 nn n 1n 1 . 所以 Sn
10、1 22 ? ?22 33 ? ?33 44 ? ?nn n 1n 1 1 n 1n 1 ， 因此 S3， S8， S15 为有理项，又下标 3,8,15， 的通项公式为 n2 1(n2) ，所以 n2 12 016，且 n2 ， 所以 2 n44 ，所以有理项的项数为 43. 答案 B 12 (2017 济南模拟 )在数列 an中， an 1 ( 1)nan 2n 1，则数列 an的前 12 项和等于 ( ) A 76 B 78 C 80 D 82 解析 因为 an 1 ( 1)nan 2n 1，所以 a2 a1 1， a3 a2 3， a4 a3 5， a5 a4 7， a6 a5 9，
11、a7 a6 11， ， a11 a10 19， a12 a1121，所以 a1 a3 2， a4 a2 8， ， a12 a10 40， 所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列，以上式相加可得， S12 a1 a2 a3 a12 (a1 a3) (a5 a7) (a9 a11) (a2 a4) (a6 a8) (a10 a12)32 8 24 40 78. 答案 B 13设 f(x) 4x4x 2，若 S f?12 015 f?22 015 f?2 0142 015 ，则 S _. 解析 f(x
12、) 4x4x 2， f(1 x)41 x41 x 222 4x， f(x) f(1 x) 4x4x 222 4x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = S f? ?12 015 f? ?22 015 f? ?2 0142 015 ， S f? ?2 0142 015 f? ?2 0132 015 f? ?12 015 ， 得， 2S ? ?f? ?12 015 f? ?2 0142 015 ? ?f? ?22 015 f? ?2 0132 015 ? ?f? ?2 0142 015 f? ?12 015 2 014， S 2 0142 1 007. 答案 1 007 14 (2015 山东卷
13、 )已知数列 an是首项为正数的等差数列，数列 ? ?1an an 1的前 n 项和为n2n 1. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn (an 1)2 an，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)设数列 an的公差为 d，令 n 1，得 1a1a2 13， 所以 a1a2 3. 令 n 2，得 1a1a2 1a2a3 25， 所以 a2a3 15. 解 得 a1 1， d 2，所以 an 2n 1. (2)由 (1)知 bn 2n2 2n 1 n4 n， 所以 Tn 14 1 24 2 n4 n， 所以 4Tn 14 2 24 3 n4 n 1， 两式相减，得 3Tn 41 42 4n n4 n 1 4n1 4 n4n 1 1 3n3 4n 1 43. 所以 Tn 3n 19 4 n 1 49 4 nn 19 .
