1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线 y eax ln(x 1)在 x 0 处的切线方程为 2x y 1 0， 则 a ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 y eax ln(x 1)， y aeax 1x 1， 当 x 0 时 ， y a 1. 曲线 y eax ln(x 1)在 x 0 处的切线方 程为 2x y 1 0， a 1 2， 即 a 3.故选 D. 答案 D 2.若 f(x) 2xf(1) x2， 则 f(0) 等于 ( ) A.2 B.0 C. 2 D. 4 解析 f( x) 2f(1) 2x， 令 x 1， 得 f(
2、1) 2， f (0) 2f(1) 4. 答案 D 3.(2017 西安质测 )曲线 f(x) x3 x 3 在点 P 处的切线平行于直线 y 2x 1， 则 P 点的坐标为 ( ) A.(1， 3) B.( 1， 3) C.(1， 3)和 ( 1， 3) D.(1， 3) 解析 f( x) 3x2 1， 令 f( x) 2， 则 3x2 1 2， 解得 x 1 或 x 1， P(1， 3)或 ( 1， 3)， 经检验 ， 点 (1， 3)， ( 1， 3)均不在直线 y 2x 1 上 ， 故选 C. 答案 C 4.(2017 石家庄调研 )已知曲线 y ln x 的切线过原点 ， 则此切线的
3、斜率为 ( ) A.e B. e C.1e D. 1e 解析 y ln x 的定义域为 (0， ) ， 且 y 1x， 设切点为 (x0， ln x0)， 则 y| x x0 1x0， 切线方程为 y ln x0 1x0(x x0)， 因为切线过点 (0， 0)， 所以 ln x0 1， 解得 x0 e， 故此切线的斜率为 1e. 答案 C 5.(2016 郑州质检 )已知 y f(x)是可导函数 ， 如图 ， 直线 y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线 ， 令 g(x) xf(x)， g (x)是 g(x)的导函数 ， 则 g(3) ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
4、 A. 1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线 y f(x)在 x 3 处切线的斜率等于 13， f (3) 13， g(x) xf(x)， g (x) f(x) xf( x)， g (3) f(3) 3f(3) ， 又由题图可知 f(3)1， 所以 g(3) 1 3 ? ? 13 0. 答案 B 二、填空题 6.(2015 天津卷 )已知函数 f(x) axln x， x (0， ) ， 其中 a 为实数 ， f (x)为 f(x)的导函数 ， 若 f(1) 3， 则 a 的值为 _. 解析 f( x) a? ?ln x x 1x a(1 ln x)， 由于 f(1) a(1 ln
5、 1) a， 又 f(1) 3， 所以 a 3. 答案 3 7.(2016 全国 卷 )已知 f(x)为偶函数 ， 当 x 0 时 ， f(x) ln( x) 3x， 则曲线 y f(x)在点 (1， 3)处的切线方程是 _. 解析 设 x 0， 则 x 0， f( x) ln x 3x，又 f(x)为偶函数 ， f(x) ln x 3x， f (x) 1x 3， f (1) 2， 切线方程为 y 2x 1. 答案 2x y 1 0 8.(2015 陕西卷 )设曲线 y ex在点 (0， 1)处的切线与曲线 y 1x(x 0)上点 P 处的切线垂直 ， 则 P 的坐标为 _. 解析 y ex，
6、 曲线 y ex在点 (0， 1) 处的切线的斜率 k1 e0 1， 设 P(m， n)， y 1x(x 0)的导数为 y 1x2(x 0)， 曲线 y 1x(x 0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m 0)，因为两切线垂直 ， 所以 k1k2 1， 所以 m 1， n 1， 则点 P 的坐标为 (1， 1). 答案 (1， 1) 三、解答题 9.(2017 长沙调研 )已知点 M 是曲线 y 13x3 2x2 3x 1 上任意一点 ， 曲线在 M 处的切线=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 l， 求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角 的取值范围 . 解 (1)y
7、 x2 4x 3 (x 2)2 1 1， 当 x 2 时 ， y 1， y 53， 斜率最小的切线过点 ? ?2， 53 ， 斜 率 k 1， 切线方程为 3x 3y 11 0. (2)由 (1)得 k 1， tan 1， 又 0 ， )， ? ?0， 2 ? ?34 ， . 故 的取值范围为 ? ?0， 2 ? ?34 ， . 10.已知曲线 y 13x3 43. (1)求曲线在点 P(2， 4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2， 4)的切线方程 . 解 (1) P(2， 4)在曲线 y 13x3 43上 ， 且 y x2， 在点 P(2， 4)处的切线的斜率为 y| x 2 4.
8、曲线在点 P(2， 4)处的切线方程为 y 4 4(x 2)， 即 4x y 4 0. (2)设曲线 y 13x3 43与过点 P(2， 4)的切线相切于点 A? ?x0，13x3043 ， 则切线的斜率为 y| x x0 x20. 切线方程为 y ? ?13x3043 x20(x x0)， 即 y x20 x23x3043. 点 P(2， 4)在切线上 ， 4 2x20 23x30 43， 即 x30 3x20 4 0， x30 x20 4x20 4 0， x20(x0 1) 4(x0 1)(x0 1) 0， (x0 1)(x0 2)2 0， 解得 x0 1 或 x0 2， 故所求的切线方程
9、为 x y 2 0 或 4x y 4 0. 11.已知 f1(x) sin x cos x， fn 1(x)是 fn(x)的导函数 ， 即 f2(x) f1 (x)， f3(x)f 2(x)， fn 1(x) fn (x)， n N ， 则 f2 017(x)等于 ( ) A. sin x cos x B.sin x cos x C. sin x cos x D.sin x cos x =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 f1(x) sin x cos x， f2(x) f1 (x) cos x sin x， f3(x) f2 (x) sin x cos x， f4(x) f3 (x) c
10、os x sin x， f5(x) f4 (x) sin x cos x， fn(x)是以 4 为周期的函数 ， f2 017(x) f1(x) sin x cos x， 故选 D. 答案 D 12.已知函数 f(x) g(x) x2， 曲线 y g(x)在点 (1， g(1)处的切线方程为 y 2x 1， 则曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 ( ) A.4 B. 14 C.2 D. 12 解析 f( x) g( x) 2x. y g(x)在点 (1， g(1)处的切线方程为 y 2x 1， g (1) 2， f (1) g(1) 21 2 2 4， 曲线 y f(x)
11、在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 4. 答案 A 13.(2016 全国 卷 )若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线 ， 也是曲线 y ln(x 1)的切线 ， 则 b _. 解析 y ln x 2 的切线为： y 1x1 x ln x1 1(设切点横坐标为 x1). y ln(x 1)的切线为： y 1x2 1x ln(x2 1) x2x2 1(设切点横坐标为 x2). ?1x1 1x2 1，ln x1 1 ln（ x2 1） x2x2 1，解得 x1 12， x2 12， b ln x1 1 1 ln 2. 答案 1 ln 2 14.设函数 f(x) ax bx，
12、曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 7x 4y 12 0. (1)求 f(x)的解析式； (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值 ， 并求此定值 . 解 (1)方程 7x 4y 12 0 可化为 y 74x 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x 2 时 ， y 12.又 f( x) a bx2， 于是?2a b2 12，a b4 74，解得?a 1，b 3. 故 f(x) x3x. (2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点 ， 由 y 1 3x2知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为 y y0 ? ?1 3x20(x x0)， 即 y ? ?x03x0 ? ?1 3x20(x x0).令 x 0， 得 y 6x0， 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 ? ?0， 6x0.令 y x， 得 y x 2x0， 从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 (2x0， 2x0). 所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x 0， y x 所围成的三角形的面积为 S 12? ? 6x0|2x0| 6. 故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x 0， y x 所围成的三角形面积为定值 ， 且此定值为 6.
