1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破一 高考中的导数应用问题 【考点自测】 1若函数 f(x) 2sin x(x0 ， ) 的图像在点 P 处的切线平行于函数 g(x) 2 x? ?x3 1 的图像在点 Q 处的切线，则直线 PQ 的斜率为 ( ) A.83 B 2 C.73 D. 33 答案 A 解析 f( x) 2cos x 2,2， g( x) x 1x2( 当且仅当 x 1 时取等号 ) 当两函数的切线平行时， xp 0， xQ 1. 即 P(0,0)， Q? ?1， 83 ， 直线 PQ 的斜率为 83. 2 (2017 全国 ) 若 x 2 是函数 f(x) (x2 ax
2、 1)e x 1的极值点，则 f(x)的极小值为( ) A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 答案 A 解析 函数 f(x) (x2 ax 1)ex 1， 则 f( x) (2x a)ex 1 (x2 ax 1)ex 1 ex 1 x2 (a 2)x a 1 由 x 2 是函数 f(x)的极值点，得 f( 2) e 3(4 2a 4 a 1) ( a 1)e 3 0， 所以 a 1. 所以 f(x) (x2 x 1)ex 1， f( x) ex 1( x2 x 2) 由 ex 1 0 恒成立，得当 x 2 或 x 1 时， f( x) 0，且当 x 2 时， f( x) 0；当2 x 1
3、 时， f( x) 0； 当 x 1 时， f( x) 0. 所以 x 1 是函数 f(x)的极小值点 所以函数 f(x)的极小值为 f(1) 1. 故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3设 f(x)， g(x)在 a， b上可导，且 f( x)g( x)，则当 ag(x) B f(x)g(x) f(a) D f(x) g(b)g(x) f(b) 答案 C 解析 f( x) g( x)0， ( f(x) g(x)0 ， f(x) g(x)在 a， b上是增函数， 当 af(a) g(a)， f(x) g(a)g(x) f(a) 4若函数 f(x) 2x3 3mx2 6x 在区间 (2
4、， ) 上是增加的，则实数 m 的取值范围为_ 答案 ? ? ， 52 解析 f( x) 6x2 6mx 6， 当 x(2 ， ) 时， f( x)0 恒成立， 即 x2 mx 10 恒成立， m x 1x恒成立 令 g(x) x 1x， g( x) 1 1x2， 当 x2 时， g( x)0，即 g(x)在 (2， ) 上是 增加的， m2 12 52. 5 (2017 江苏 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a 1)f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 1， 12 解析 因为 f( x) ( x)3 2( x) e
5、x 1e x x3 2x ex 1ex f(x)， 所以 f(x) x3 2x ex 1ex是奇函数 因为 f(a 1) f(2a2)0 ， 所以 f(2a2) f(a 1)，即 f(2a2) f(1 a) 因为 f( x) 3x2 2 ex e x3 x2 2 2 exe x =【 ;精品教育资源文库 】 = 3x20 ，当且仅当 x 0 时 “ ” 成立， 所以 f(x)在 R 上是增加的， 所以 2a21 a，即 2a2 a 10 ，所以 1 a 12. 题型一 利用导数研究函数性质 例 1 (2018 沈阳质检 )设 f(x) xln x ax2 (2a 1)x， a R. (1)令
6、g(x) f( x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x 1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 解 (1)由 f( x) ln x 2ax 2a， 可得 g(x) ln x 2ax 2a， x(0 ， ) ， 所以 g( x) 1x 2a 1 2axx . 当 a0 ， x(0 ， ) 时， g( x) 0，函数 g(x)是增加的； 当 a 0， x ? ?0， 12a 时， g( x) 0，函数 g(x)是增加的， x ? ?12a， 时， g( x) 0，函数 g(x)是减少的 所以当 a0 时，函数 g(x)的递增区间为 (0， ) ； 当 a 0 时，函数 g(x
7、)的递增区间为 ? ?0， 12a ， 递减区间为 ? ?12a， . (2)由 (1)知， f(1) 0. 当 a0 时， f( x)是增加的， 所以当 x(0,1) 时， f( x) 0， f(x)是减少的， 当 x(1 ， ) 时， f( x) 0， f(x)是增加的， 所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不符合题意； 当 0 a 12，即 12a 1 时，由 (1)知 f( x)在 ? ?0， 12a 是增加的 可得当 x(0,1) 时， f( x) 0， 当 x ? ?1， 12a 时 ， f( x) 0. 所以 f(x)在 (0,1)上是减少的，在 ? ?1， 12a 上是增加
8、的 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不符合题意； 当 a 12，即 12a 1 时， f( x)在 (0,1)上是增加的， 在 (1， ) 上是减少的， 所以当 x(0 ， ) 时， f( x)0 ， f(x)是减少的，不符合题意； 当 a 12，即 0 12a 1 时， 当 x ? ?12a， 1 时， f( x) 0， f(x)是增加的， 当 x(1 ， ) 时， f( x) 0， f(x)是减少的 所以 f(x)在 x 1 处取得极大值，符合题意 综上可知，实数 a 的取值范围为?a? a 12 . 思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、
9、最值已知 f(x)的单调性，可转化为不等式 f( x)0 或 f( x) 0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析 跟踪训练 1 已知 a R，函数 f(x) ( x2 ax)ex (x R， e 为自然对数的底数 ) (1)当 a 2 时，求函数 f(x)的递增区间； (2)若函数 f(x)在 ( 1,1)上是增加的，求 a 的取值范围 解 (1)当 a 2 时， f(x) ( x2 2x)ex， 所以 f( x) ( 2x 2)ex ( x2 2x)ex ( x2 2)ex. 令
10、f( x)0， 即 ( x2 2)ex0，因为 ex0， 所以 x2 20，解得 20，所以 x2 (a 2)x a0 对 x( 1,1)都成立， 即 a x2 2xx 1 ?x 1?2 1x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = (x 1) 1x 1对 x( 1,1)都成立 令 y (x 1) 1x 1，则 y 1 1?x 1?20. 所以 y (x 1) 1x 1在 ( 1,1)上是增加的， 所以 y0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围 解 (1)f( x) x2 (1 a)x a (x 1)(x a) 由
11、f( x) 0，得 x 1 或 x a(a0) 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 ( 1， a) a (a， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故函数 f(x)的递增区间是 ( ， 1)， (a， ) ； 递减区间是 ( 1， a) (2)由 (1)知 f(x)在区间 ( 2， 1)上是增加的， 在区间 ( 1,0)上是减少的， 从而函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点， 当且仅当? f? 2?0，f?0?0. (1)求 f(x)的单调区间和极 值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅
12、有一个零点 (1)解 函数的定义域为 (0， ) 由 f(x) x22 kln x(k0)，得 f( x) xkxx2 kx . 由 f( x) 0，解得 x k(负值舍去 ) f( x)与 f(x)在区间 (0， ) 上随 x 的变化情况如下表： x (0， k) k ( k， ) f( x) 0 f(x) k?1 ln k?2 所以， f(x)的递减区间是 (0， k)， 递增区间是 ( k， ) f(x)在 x k处取得极小值 f( k) k?1 ln k?2 ，无极大值 (2)证明 由 (1)知， f(x)在区间 (0， ) 上的最小值为 f( k) k?1 ln k?2 . 因为 f
13、(x)存在零点，所以 k?1 ln k?2 0 ，从 而 ke ， 当 k e 时， f(x)在区间 (1， e上是减少的且 f( e) 0， 所以 x e是 f(x)在区间 (1， e上的唯一零点； 当 ke 时， f(x)在区间 (1， e上是减少的且 f(1) 120， f( e) e k2 0)， f(1) a b 0， f(e) ae2 b(e 1) a(e2 e 1) e2 e 1， a 1， b 1. (2)证明 f(x) x2ln x x 1， f(x) (x 1)2 x2ln x x x2， 设 g(x) x2ln x x x2(x1) ， 则 g( x) 2xln x x
14、1. 由 (g( x) 2ln x 10，得 g( x)在 1， ) 上是增加的， g( x) g(1) 0， g(x)在 1， ) 上是增加的， g(x) g(1) 0. f(x)( x 1)2. (3)解 设 h(x) x2ln x x m(x 1)2 1(x1) ， 则 h( x) 2xln x x 2m(x 1) 1， 由 (2)知 x2ln x( x 1)2 x 1 x(x 1)， xln x x 1， h( x)3( x 1) 2m(x 1) (3 2m)(x 1) 当 3 2m0 ，即 m 32时， h( x)0 ， h(x)在 1， ) 上是增加的， h(x) h(1) 0 成
15、立 当 3 2m32时， h( x) 2xln x (1 2m)(x 1)， (h( x) 2ln x 3 2m， 令 (h( x) 0，得 x0 e2m 32 1， 当 x1 ， x0)时， h( x)是减少的，则 h( x) h(1) 0， h(x)在 1， x0)上是减少的， h(x) h(1) 0，即 h(x)0 不成立 综上， m 32. 思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是=【 ;精品教育资源文库 】 = 如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解 跟踪训练 3 已知函数 f(x) x3 2x2 x a， g(x) 2x 9x，若对任意的 x1 1,2，存在 x22,4 ，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 74， 32 解析 问题等价于 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集， 显然， g(x)是减少的， g(x)max g(2) 12， g(x)min g(4) 234 ； 对于 f(x)，
