1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.4 离散型随机变量及其分布列 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列 2.了解超几何分布，并能进行简单的应用 . 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档 . 1离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验 (或观测 )的每一个可能的 结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量 (2)离散型随机变量：
2、随机变量的取值能够 一一列举出来 ，这样的随机变量称为离散型随机变量 (3)设离散型随机变量 X 的取值为 a1， a2， ? 随机变量 X 取 ai的概率为 pi(i 1,2， ?) ，记作： P(X ai) pi(i 1,2， ?) ， 或把上式列表： X ai a1 a2 ? P(X ai) p1 p2 ? 称为离散型随机变量 X 的分布列 (4)性质： pi0， i 1,2， ? ； p1 p2 ? 1. 2超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M N)件次品从中任取 n (n N)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 =【 ;精品教育资源文库 】 =
3、P(X k) CkMCn kN MCnN (其中 k 为非负整数 ) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N， M， n 的超几何分布 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 ( ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 ( ) (3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布 ( ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( ) (5)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
4、 ( ) 题组二 教材改编 2设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 112 16 13 16 p 则 p 为 ( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C 解析 由分布列的性质知， 112 16 13 16 p 1， p 1 34 14. 3有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是 _ 答案 0,1,2,3 解析 因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3. 4设 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 13 m 14 16 =【 ;精品教育资源文库
5、】 = 则 P(|X 3| 1) _. 答案 512 解析 由 13 m 14 16 1，解得 m 14， P(|X 3| 1) P(X 2) P(X 4) 14 16 512. 题组三 易错自纠 5袋中有 3 个白球 、 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是 ( ) A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 答案 C 解析 选项 A， B 表述的都是随机事件；选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变量，可能取值为 0,1,2. 6随机变量 X 等可能取值 1,2,3， ? ， n，如果 P(X4) 0.3，则 n _. 答
6、案 10 解析 由 P(X4) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 1n 1n 1n 3n 0.3，得 n 10. 7一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X 4)的值为 _ 答案 27220 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、 1 个新球， 故 P(X 4) C23C19C312 27220. 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 1离散型随机变量 X 的概率分 布规律为 P(X n) an?n 1?(n 1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P? ?12X52
7、的值为 ( ) A.23 B.34 C.45 D.56 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 P(X n) an?n 1?(n 1,2,3,4)， a2 a6 a12 a20 1， a 54， P? ?12X52 P(X 1) P(X 2) 54 12 54 16 56. 2设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2X 1 的分布列 解 由分布列的性质知， 0 2 0.1 0.1 0.3 m 1，得 m 0.3. 列表为 X 0 1 2 3 4 2X 1 1 3 5 7 9 从而 2X 1 的分布列为 2X 1 1 3
8、5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 引申探究 1若题 2 中条件不变，求随机变量 |X 1|的分布列 解 由题 2 知 m 0.3，列表为 X 0 1 2 3 4 |X 1| 1 0 1 2 3 P( 1) P(X 0) P(X 2) 0.2 0.1 0.3， P( 0) P(X 1) 0.1， P( 2) P(X 3) 0.3， P( 3) P(X 4) 0.3. 故 |X 1|的分布列为 =【 ;精品教育资源文库 】 = 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2.若题 2 中条件不变，求随机变量 X2的分布列 解 依题意知 的值为 0,1,4,9,16.
9、列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而 X2的分布列为 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 (2)求随机变量在某 个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 题型二 离散型随机变量的分布列的求法 命题点 1 与排列、组合有关的分布列的求法 典例 (2017 山东改编 )在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，
10、一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名女志愿者 B1， B2， B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M) C48C510518. (2)由题意知， X 可取的值为 0,1,2,3,4，则
11、 P(X 0) C56C510142， =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X 1) C46C14C510 521， P(X 2) C36C24C510 1021， P(X 3) C26C34C510 521， P(X 4) C16C44C510 142. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 命题点 2 与互斥事件有关的分布列的求法 典例 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出
12、的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 (单位：元 )，求 X 的分布列 解 (1)记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A，则 P(A) A12A13A25 310. (2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X 200) A22A25110， P(X 300) A33 C12C13A22A35 310， P(X 400) 1 P(X 200) P(X 300) 1 110 310 35. 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 110 310
13、 35 命题点 3 与独立事件 (或独立重复试验 )有关的分布列的求法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 设某人 有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为 23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列 解 记 “ 第 k 发子弹命中目标 ” 为事件 Ak，则 A1， A2， A3， A4， A5相互独立，且 P(Ak) 23，P( A k) 13， k 1,2,3,4,5. (1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1 A 2) P( A 1A2) P(A1)P
14、( A 2) P( A 1)P(A2) 23 13 13 23 49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为 P C12 23 13 49. (2)X 的所有可能值为 2,3,4,5. P(X 2) P(A1A2) P( A 1 A 2) 23 23 13 13 59， P(X 3) P(A1 A 2 A 3) P( A 1A2A3) 23 ? ?13 2 13 ? ?23 2 29， P(X 4) P(A1 A 2A3A4) P( A 1A2 A 3 A 4) ? ?23 3 13 ? ?13 3 23 1081， P(X 5) P(A1 A 2A3 A 4
15、) P( A 1A2 A 3A4) ? ?23 2 ? ?13 2 ? ?13 2 ? ?23 2 881. 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 思维升华 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)求 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 跟踪训练 (2017 湖北部分重点中学联考 )连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i 次得到的点数为 ai，若存在正整数 k，使 a1 a2 ? ak 6，则称 k 为你的幸运数字 (1)求你的幸运数字为 3 的概率； (2)若 k 1，则你的得分为 6 分；若 k 2，则你的得分为 4 分；若 k 3，则你的得分为 2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记 0 分，求得分 的分布列 解 (1)设 “ 连续抛掷 3 次骰子，和为 6” 为事件 A，则它包含事件 A
