1、平面向量数量积的坐标表示一、选择题1已知平面向量a(1,m),b(2,5),c(m,0),且(ac)(ab),则m()A3B3C3 D32a(4,3),b(5,6),则3|a|24ab等于()A23 B57C63D833已知a(3,2),b(1,0),若向量ab与a2b垂直,则实数的值为()A B C D4已知向量a(0,2),b(1,),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为()A BC D5已知向量A(3,1),n(2,1),且nB2,则nA()A2 B2 C7 D7二、填空题6已知a(1,2),b(x,4),且ab10,则|ab|_7已知向量a(1,2),b(2,4),|c|,若(ab)c
2、,则a与c的夹角的大小为_8已知a(1,0),b(0,1),若向量kab与a2b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为_三、解答题9设t,kR,已知a(1,2),b(2,1),ma(t2)b,nkatb(1)若t1,且mn,求k的值;(2)若mn5,求证:k210设平面向量a(cos ,sin )(02),b(1)求证:向量ab与ab垂直;(2)若向量ab与ab的模相等,求角素养提升1已知向量a(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab,则b()A BC D(1,0)2(多选题)已知ABC是边长为2a(a0)的等边三角形,P为ABC所在平面内一点,则()的值可能是()A2a2 Ba2 Ca2 D
3、a23已知平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2,|b|3,ab6,则向量a与b的夹角为_,的值为_4已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1sin x,sin x),x(0,),且函数f(x)|的最小值为,求实数m的值一、选择题1已知平面向量a(1,m),b(2,5),c(m,0),且(ac)(ab),则m()A3B3C3 D3Ca(1,m),b(2,5),c(m,0),ac(1
4、m,m),ab(1,m5),(ac)(ab),1mm(m5)m26m10,解得m32a(4,3),b(5,6),则3|a|24ab等于()A23 B57C63D83D因为|a|2(4)23225,ab(4)5362,所以3|a|24ab3254(2)833已知a(3,2),b(1,0),若向量ab与a2b垂直,则实数的值为()A B C DB由向量ab与a2b垂直,得(ab)(a2b)0因为a(3,2),b(1,0),所以(31,2)(1,2)0,即3140,解得4已知向量a(0,2),b(1,),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为()A BC DD向量a在向量b上的投影向量为b,其坐标为(
5、1,)故选D5已知向量A(3,1),n(2,1),且nB2,则nA()A2 B2 C7 D7CnAn(AB)nAnB6127,故选C二、填空题6已知a(1,2),b(x,4),且ab10,则|ab|_由题意,得abx810,x2,ab(1,2),|ab|7已知向量a(1,2),b(2,4),|c|,若(ab)c,则a与c的夹角的大小为_易得ab(1,2),|a|设c(x,y),(ab)c,x2y设a与c的夹角为,acx2y,cos 又0,8已知a(1,0),b(0,1),若向量kab与a2b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为_a(1,0),b(0,1),kab(k,1),a2b(1,2)向量k
6、ab与a2b的夹角为锐角,(kab)(a2b)(k,1)(1,2)k20,解得k2又当k时,kab与a2b方向相同,实数k的取值范围为三、解答题9设t,kR,已知a(1,2),b(2,1),ma(t2)b,nkatb(1)若t1,且mn,求k的值;(2)若mn5,求证:k2解(1)当t1时, ma3b(5,5),nkab(k2,2k1)mn,5(k2)5(2k1),解得k(2)mna(t2)b(katb)ka2tabk(t2)abt(t2)b25k5t(t2),mn5,5k5t(t2)5,kt22t1(t1)22210设平面向量a(cos ,sin )(02),b(1)求证:向量ab与ab垂直
7、;(2)若向量ab与ab的模相等,求角解(1)证明:由题意,知ab,ab(ab)(ab)cos2sin20,(ab)(ab)(2)易得|a|1,|b|1由题意,知(ab)2(ab)2,化简得ab0,cos sin 0,tan 又02,或素养提升1已知向量a(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab,则b()A BC D(1,0)B设b(x,y),其中y0,则abxy由题意得得即b故选B2(多选题)已知ABC是边长为2a(a0)的等边三角形,P为ABC所在平面内一点,则()的值可能是()A2a2 Ba2 Ca2 Da2BCD建立如图所示的平面直角坐标系设P(x,y),又A(0,a),B(a,0
8、),C(a,0),则(x,ay),(ax,y),(ax,y)所以()(x,ay)(ax,y)(ax,y)(x,ay)(2x,2y)2x22y22ay2x222a2a2故选BCD3已知平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2,|b|3,ab6,则向量a与b的夹角为_,的值为_180设a,b的夹角为,则ab|a|b|cos 6,cos 1,180即a,b共线且反向,ab,x1x2,y1y2,4已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_5如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DCa,DPx,则A(2
9、,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),P(0,x)(0xa),则3(2,x)3(1,ax)(5,3a4x),所以|3|55.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1sin x,sin x),x(0,),且函数f(x)|的最小值为,求实数m的值解(1)证明:,(),又,有公共点B,A,B,C三点共线,(2)A(1,sin x),B(1sin x,sin x),1sin xsin2x又(sin x,0),|sin x,f(x)|sin2x2msin x1设sin xt,x(0,),t(0,1,yt22mt1(tm)21m2当m0,即m0时,yt22mt1无最小值,不合题意;当0m1,即1m0时,当tm时,ymin1m2,m;当m1,即m1时,当t1时,ymin22m,m1,不合题意综上可知,m