期末综合复习-素养提升篇-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.rar

2020-2021 学年度第二学期学年度第二学期高一数学必修第二册高一数学必修第二册 素养提升训练素养提升训练第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项1.若复数为纯虚数，则（）21aiaRi3aiABCD131310102.若直线 a 平行于平面 ，则下列结论错误的是 ()A. 直线 a 上的点到平面 的距离相等B. 直线 a 平行于平面 内的所有直线C. 平面 内有无数条直线与直线 a 平行D. 平面 内存在无数条直线与直线 a 成角903. 如图，正方形中，E 为的中点，若，则的值为( )ABCDDCAEABAD ABCD1121214.甲、乙两名同学将参加 2021 年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考 140 分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考 140 分以上相互独立，则预估这两个人在 2021 年1245高考中恰有一人数学考 140 分以上的概率为( )ABC D342312135.从一副混合后的扑克牌 不含大小王 中，随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红()桃 K”，事件 B 为“抽得黑桃”，则 ( ) = ()A. B. C. D. 7261126152619266. 已知向量，若三点不能构13()OA ，-(2)OB ，-1(1)2OCkk，ABC，成三角形，则实数 k 应满足的条件是()A B C D2k12k1k1k7. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021 年 2 月 4 日，在三星堆遗址祭祀坑区 4 号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，2cm3cm4cm3cm圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） ABCD3727cm4324cm43936cm43718cm48.某市环境保护局公布了该市，两个景区年至年各年的全年空气AB20142020质量优良天数的数据现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是A景区这七年的空气质量优良天数的极差为A98B景区这七年的空气质量优良天数的中位数为B283C分别记景区，这七年的空气质量优良天数的众数为，则AB1m2m12mmD分别记景区，这七年的空气质量优良天数的标准差为，则AB1s2s12ss9.在正方体中，M，N 分别为棱，的中点，则异面直 1111111线与 MN 所成的角为1()A. B. C. D. 3045609010.在中,分别为角的对边),则的形ABC2sin(22caBabcc、ABC、ABC状为（ ）A等边三角形B 直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 80 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分11.若长方体的长，宽，高分别为 3，5，4，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_12. 复数 满足，则_z2i i3iz z 13.我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14.在中，M 是的中点，则ABC60 ,2BABBC2 3AM _，_.AC cosMAC15.已知，且，则_.| | | 1abc30abca bb cc a 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知 是平面内两个不共线的非零向量，12,e e =，且A，E，C三点共线12122,ABee BEee EC 122ee （1）求实数的值；（2）若，求的坐标；122,1 ,2, 2ee BC （3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行3,5D, ,A B C D四边形，求点A的坐标17.“水是生命之源” ，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁某市为了鼓励居民节约用水，计划2.8%80%调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位x居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了xx解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直0 0.50.51 ,.,4 4.5，），），）方图（1）求直方图中的值；a（2）设该市有 60 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 2.5 吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并82%x说明理由18.在中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且.已知ABCac，求:12,cos,33BA BCBb （1）a 和 c 的值；（2）的值.cos()BC19.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为 T，其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2)，畅通；T2，4)，基本畅通；T4，6)，轻度拥堵；T6，8)，中度拥堵；T8，10，严重拥堵.在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层随机抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取 6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率.20.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ADC=45,AD=AC=1,O为 AC 的中点,PO平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.(1)证明:PB平面 ACM;(2)证明:AD平面 PAC;(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 2020-2021 学年度第二学期学年度第二学期高一数学高一数学 必修第二册必修第二册 素养提升训练素养提升训练第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项1.若复数为纯虚数，则（）21aiaRi3aiABCD13131010【答案】A【解析】由复数的运算法则有：,2(2 )(1)221(1)(1)22aiaiiaaiiii复数为纯虚数，则，21aiaRi2020aa即.222,|3|313aaia 故选 A.2.若直线 a 平行于平面 ，则下列结论错误的是 ()A. 直线 a 上的点到平面 的距离相等B. 直线 a 平行于平面 内的所有直线C. 平面 内有无数条直线与直线 a 平行D. 平面 内存在无数条直线与直线 a 成角90【答案】B【分析】本题考查线面平行的性质的应用，易错点是对于无数条直线与所有直线概念的理解出现问题，造成判断错误【解析】若，则直线 a 上任意一点到平面 的距离均相等，A 正确；/若，则平面 内存在无数条平行直线与直线 a 平行，但与其平行直线相交/的直线与直线 a 异面，故 B 错误，C 正确；若，则在平面 内垂直于直线 a 的平行直线的直线与直线 a 成角，这样/90的直线有无数条，D 正确故选：B3. 如图，正方形中，E 为的中点，若，则的值为( )ABCDDCAEABAD ABCD112121【答案】B4.甲、乙两名同学将参加 2021 年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考 140 分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考 140 分以上相互独立，则预估这两个人在 2021 年1245高考中恰有一人数学考 140 分以上的概率为( )ABC D34231213【答案】C【解析】因为这两个人在 2021 年高考中恰有一人数学考 140 分以上的概率为甲考 140 分以上乙未考到 140 分以上事件概率与乙考 140 分以上甲未考到 140 分以上事件概率的和，而甲考 140 分以上乙未考到 140 分以上事件概率为，乙考 140 分以上甲未考到 140 分以上事件概率为，因此，1412514125所求概率为.1414511125251025.从一副混合后的扑克牌 不含大小王 中，随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红()桃 K”，事件 B 为“抽得黑桃”，则 ( ) = ()A. B. C. D. 726112615261926【答案】A【分析】本题考查互斥事件，古典概型的计算，属于基础题根据题意，分别求出事件 A、B 的概率，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果【解析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 A 的概率，() =152事件 B 为“抽得黑桃”，事件 B 的概率，() =14可知：事件 A 和 B 是互斥事件，所以( ) = () + () =152+14=726故选 A6. 已知向量，若三点不能构13()OA ，-(2)OB ，-1(1)2OCkk，ABC，成三角形，则实数 k 应满足的条件是()A B C D2k12k1k1k【答案】C7. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021 年 2 月 4 日，在三星堆遗址祭祀坑区 4 号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，2cm3cm4cm3cm圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） ABCD3727cm4324cm43936cm43718cm4【答案】A【解析】由图可知，组合体的体积为：，22233413 3 3322V ，3727cm4故选：A8.某市环境保护局公布了该市，两个景区年至年各年的全年空气AB20142020质量优良天数的数据现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是A景区这七年的空气质量优良天数的极差为A98B景区这七年的空气质量优良天数的中位数为B283C分别记景区，这七年的空气质量优良天数的众数为，则AB1m2m12mmD分别记景区，这七年的空气质量优良天数的标准差为，则AB1s2s12ss【答案】D【分析】根据极差、中位数、众数的定义、标准差的性质，结合折线图逐一判断即可,【解析】A：景区这七年的空气质量优良天数的极差为，故本A313203110选项结论不正确；B：景区这七年的空气质量优良天数的中位数为，故本选项结论不正确；B266C：由折线图可知，显然，故本选项结论不正确；12254,262mm12mmD：由折线图可知景区这七年的空气质量优良天数的数据波动要比景区这AB七年的空气质量优良天数据波动大，因此，所以本选项结论正确，故选12ssD9.在正方体中，M，N 分别为棱，的中点，则异面直 1111111线与 MN 所成的角为1()A. B. C. D. 30456090【答案】A【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题由异面直线及其所成的角得：是异面直线与1MN 所成角的平面角，即可求解【解析】如图，取的中点 P，连接 PM，PN，因为 M 为棱的中点，111.1P 为的中点，11所以，/1所以，/1则是异面直线与 MN 所成角的平面角1设， = 2在中， = =2 =6则，即 =2 + 6 22 2 6=32 = 30故选：A10.在中,分别为角的对边),则的形ABC2sin(22caBabcc、ABC、ABC状为A等边三角形B 直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即sinsin1 cos2sin2CABC，又，故，sinsin cosACBsinsinsin coscos sinABCBCBCsin cos0BC 三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选 B. sin0B cos0,2CC第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 80 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分11.若长方体的长，宽，高分别为 3，5，4，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_【答案】50【解析】因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球，故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为，2223455 2故球的半径为，所以球的表面积为，5 22504504故答案为：.5012. 复数 满足，则_z2i i3iz z 【答案】26【解析】复数，则.321 5iziii 26z 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概率，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本(i)(i)()()i,( , , ,)abcdacbdadbca b c dR概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为( ,)abi a bRab22ab，共轭复数为( , )a bi( ,)ab a bR13.我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_【答案】0.98.【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站10 0.9720 0.98 10 0.9939.2所有高铁平均正点率约为39.20.9840【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值14.在中，M 是的中点，则ABC60 ,2BABBC2 3AM _，_.AC cosMAC【答案】；2 132 3913【解析】在中，由余弦定理ABMV2144122BMBM，2280BMBM4BM 8BC146422 82 132AC 125216482 39cos132 2 3 2 138 39MAC15.已知，且，则_.| | | 1abc30abca bb cc a 【答案】132【解析】，且，即| | | 1abc30abc22223aba bc.又，1223,2a ba b 3abc .1()(3 )32a bb cc aa bcaba bcc 故答案为132三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知 是平面内两个不共线的非零向量，12,e e =，且A，E，C三点共线12122,ABee BEee EC 122ee （1）求实数的值；（2）若，求的坐标；122,1 ,2, 2ee BC （3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行3,5D, ,A B C D四边形，求点A的坐标【答案】 （1）；（2）(7，2)；（3）(10，7)32 【解析】 （1）. 12121221AEABBEeeeeee 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k， AE EC 即，得.121212eekee 12121k eke 因为是平面内两个不共线的非零向量，12,e e 所以解得.12010kk 13,22k （2） 12136, 31,17, 22BEECee （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.ADBC 设A(x，y)，则，35ADxy，因为，所以解得7, 2BC 3752xx 107xy即点A的坐标为(10，7)17.“水是生命之源” ，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁某市为了鼓励居民节约用水，计划2.8%80%调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位x居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了xx解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直0 0.50.51 ,.,4 4.5，），），）方图（1）求直方图中的值；a（2）设该市有 60 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 2.5 吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并82%x说明理由【答案】(1)；(2)万；(3)吨.0.316.22.8【解析】 （1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为1即频率分布直方图各小矩形面积之和为1解得：0.50.080.160.40.520.120.080.0421a0.3a （2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为2.50.50.30.120.080.0427%全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）2.560 0.2716.2（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：2.573%即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于 吨73%2.588%3故2.53x假设月均用水量平均分布，则（吨）82%73%2.52.80.3x18.在中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且.已知ABCac，求:12,cos,33BA BCBb （1）a 和 c 的值；（2）的值.cos()BC【答案】(1) (2) 3,2ac23cos()27BC【解析】 （1）由，得.2BA BC cos2c aB又，所以.1cos3B 6ac 由余弦定理，得，2222cosacbacB又，所以.3b 2292213ac由,得或.22613acac23ac32ac因为，所以.ac3,2ac（2）在中，,ABC2212 2sin1cos133BB由正弦定理，得.22 24 2sinsin339cCBb因为，所以 C 为锐角，abc因此.224 27cos1sin199CC于是.172 24 223cos()coscossinsin393927BCBCBC19.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为 T，其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2)，畅通；T2，4)，基本畅通；T4，6)，轻度拥堵；T6，8)，中度拥堵；T8，10，严重拥堵.在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层随机抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取 6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率.【答案】(1) 6，9，3;(2) 2，3，1.;(3) .35【解析】 (1)由频率分布直方图得，这 20 个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)，中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个)，严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有 69318(个)，按分层随机抽样，从 18 个路段抽取 6 个，则抽取的三个级别路段的个数分别为62，93，31，即从交通指数在4，6)，6，8)，8，10的路618618618段中分别抽取的个数为 2，3，1.(3)记抽取的 2 个轻度拥堵路段为 A1，A2，抽取的 3 个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的 1 个严重拥堵路段为 C1，则从这 6 个路段中抽取 2 个路段的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共 15 种，其中至少有 1 个路段为轻度拥堵的情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共 9 种.所以所抽取的 2 个路段中至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率为 .9153520.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,ADC=45,AD=AC=1,O为 AC 的中点,PO平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.(1)证明:PB平面 ACM;(2)证明:AD平面 PAC;(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.【答案】(1)(2)见解析（3）【解析】(1)如图,连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,所以 PBMO.因为 PB平面 ACM,MO平面 ACM,所以 PB平面 ACM.(2)因为ADC=45,且 AD=AC=1,所以DAC=90,即 ADAC.又 PO平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 POAD,而 ACPO=O,所以 AD平面 PAC.(3)取 DO 的中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MNPO,且 MN= PO=1.由 PO平面 ABCD,得 MN平面 ABCD,所以MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在 RtDAO 中,AD=1,AO= ,所以 DO=,从而 AN= DO=.在 RtANM 中,tanMAN=,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为.