1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.1 导数概念及其运算 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 导 数 及其应用 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 【直击考点】 题组一 常识题 1 教材改编 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度 h( )m 与抛出后的时间 t( )s 的函数关系 是 h(t) t2 6t 10，则在 3 t4 这段时间内的平均速度为 _m/s. 【解析】 平均速度为 h（ 4） h（ 3）4 3 18 191 1(m/s) 2 教材改编 已知函数 f(x) 5 3x 2x2，且 f( a) 1，则 a _ 【解析】 由题意可知， f( x) 3 4x，所
2、以 f( a) 3 4a 1，解得 a 12. 3 教材改编 曲线 y 2x3 3x 5 在点 (2， 15)处的切线的斜率为 _ 【解析】 因为 y 6x2 3，所以在点 (2， 9)处切线的斜率 k 62 2 3 21. 题组 二 常 错 题 4 若函数 f(x) 4x3 a2 a，则 f( x) _ 【解析】 f( x) (4x3 a2 a) 12x2.本题易出现一种求导错解： f( x) 12x2 2a 1，没弄清函数中的变量是 x，而 a 只是一个字母常量，其导数为 0. 5 函数 y ln xex 的导函数为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 y 1x ex ex l
3、n x（ ex） 2 1 xln xxex .本题易出现用错商的求导法则的情况 题组 三 常 考 题 6 已知函数 f(x) ax3 x 2 的图像在点 (1， f(1)处的切线过点 (2， 6)，则 a_ 7 函数 y exx在其极值点处的切线方程为 _ 【解析】 y ex（ x 1）x2 ，令 y 0，得 x 1，此时 y e，即极值点为 (1， e)，函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为 y e. 【知识清单】 1 导数的 运算 1基本初等函数的导数公式 (sin x) cosx， (cos x) sinx， (ax) axlna， (ex) ex， (logax) 1xln a，(
4、ln x) 1x. 2导数的运算法则 (1)f(x) g(x) f (x) g (x)； (2)f(x)?g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)； f 0) 3复合函数的导数 复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为 yx yu?ux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 考点 2 导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点 P(x0， y0)处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数 )相应地，切线方程为 y y0 f(
5、x0)(x x0) 【考点深度剖析】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【重点难点突破】 考点 1 导数的运算 【 1-1】 求下列函数的导数 (1)y x2sin x； (2)y ex 1ex 1； (3)y ln(2x 5) 【答案】 (1) 2xsin x x2cos x. (2) 2exex 1 2.(3) 22x 5. 【 1-2】 已知 f1(x) sin x cos x，记 f2(x) f1( x)， f3(x) f2( x)， ? ， fn(x) fn 1( x)(n N*， n2) ，则 f1? ? 2 f2? ? 2 ? f2 014? ? 2 _. 【答案】 0 【解析】
6、 f2(x) f1( x) cos x sin x， =【 ;精品教育资源文库 】 = f3(x) (cos x sin x) sin x cos x， f4(x) cos x sin x， f5(x) sin x cos x， 以此类推，可得出 fn(x) fn 4(x)， 又 f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) 0， f1? ? 2 f2? ? 2 ? f2 014? ? 2 503f1? ? 2 f2? ? 2 f3? ? 2 f4? ? 2 f1? ? 2 f2? ? 2 0. 【思想方法】 1 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运
7、算量，提高运算速度，减少差错 2 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导 【温馨提醒】 区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点 2 导数的几何意义 【 2-1】 已知函数 f(x) 3x cos 2x sin 2x， a f ? ? 4 ， f( x)是 f(x)的导函数，则过曲线 y x3上一点 P(a， b)的切线方程为 _. 【答案】 3x y 2 0. 【 2-2】 已知 f(x) ln x， g(x) 12x2 mx 72(m0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图像都相切，且与 f(x)图像的切点为 (1， f(1)，则
8、m 等于 _. 【答案】 2 【解析】 f( x) 1x， 直线 l 的斜率为 k f(1) 1， 又 f(1) 0， 切线 l 的方程为 y x 1. g( x) x m， 设直线 l 与 g(x)的图像的切点为 (x0， y0)， 则有 x0 m 1， y0 x0 1， y0 12x20 mx0 72， m0， 于是解得 m 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【思想方法】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0， f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值： k f( x0)； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1)，即解方
9、程 f( x1) k； (3)已知过某点 M(x1， f(x1)(不是切点 )的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0， f(x0)，利用 k f x1 f x0x1 x0求解 【温馨提醒】 在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求 “ 曲线上某点 (一定在曲线上 )处的切线方程 ” ，还是求 “ 过某点 (可能在曲线上、也可能不在曲线上 )的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者， 后者可能不止一条 【易错试题常警惕】 1、知曲线的切线求参数 问题，一定要注意所给的点是否是切点 如：若存在过点 ? ?1,0 的直线与曲线 3yx? 和 2 15 94y ax x? ? ?都相切，则 a?
10、【 分 析 】 设 过 点 ? ?1,0 的 直 线 与 曲 线 3yx? 相 切 于 点 ? ?300,xx ， 所 以 切 线 方 程 为? ?320 0 03y x x x x? ? ?，即 230032y x x x?，又 ? ?1, 0 在切线上，所以 23003 2 0xx?，解得 0 0x?或0 32x?，当 0 0x? 时，由 0y? 与 2 15 94y ax x? ? ?相切可得 2564a? ，当0 32x?时，由27 2744yx?与 2 15 94y ax x? ? ?相切可得 1a? 综上可得， 2564a? 或 1? 【易错点】在解题中，未对 ? ?1,0 的位置进行判断，误认为 ? ?1,0 是切点 2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导 如：若 ? ?132yx? ，则 y? 【分析】 ? ? 11 3 3322y x x?，所以 23 332233xyx x? 【易错点】 容易出现 ? ? ? ?12331223xx?的错误
