1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.2 利用导数研究函数的极值与最值 基础巩固题组 一、填空题 1下列函数： y x3； y ln( x)； y xe x； y x 2x. 其中，既是奇函数又存在极值的是 _(填序号 ) 【答案】 【解析】由题意可知， ， 中的函数不是奇函数， 中，函数 y x3单调递增 (无极值 )， 中的函数既为奇函数又存在极值 2 (2017 海门中学适应性训练 )已知函数 f(x) x3 ax2 3x 9，若 x 3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a _. 【答案 】 5 3 (2016 北京卷改编 )设函数 f(x)? x3 3x， x0 ， 2x，
2、 x0， 则 f(x)的最大值为 _ 【答案】 2 【解析】当 x0 时， f(x) 2x0， f(x)是增函数，当10， b0，且函数 f(x) 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极值，若 t ab，则 t 的最大值为 _ 【答案】 9 【解析】 f( x) 12x2 2ax 2b，则 f(1) 12 2a 2b 0，则 a b 6， 又 a0， b0，则 t ab ? ?a b2 2 9，当且仅当 a b 3 时取等号 5已知 y f(x)是奇函数，当 x (0,2)时， f(x) ln x ax? ?a12 ，当 x ( 2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a _. =【
3、 ;精品教育资源文库 】 = 【答案】 1 【解析】由题意知，当 x (0,2)时， f(x)的最大值为 1. 令 f( x) 1x a 0，得 x 1a， 当 00；当 x1a时， f( x)0 时， ex0， r0) (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 ar 400，求 f(x)在 (0， ) 内的极值 10 (2017 衡水中学二调 )已知函数 f(x) xln x， g(x) ( x2 ax 3)ex(a 为实数 ) (1)当 a 5 时，求函数 y g(x)在 x 1 处的切线方程； (2)求 f(x)在区间 t， t
4、2(t0)上的最小值 解 (1)当 a 5 时， g(x) ( x2 5x 3)ex， g(1) e. 又 g( x) ( x2 3x 2)ex， 故切线的斜率为 g(1) 4e. 所以切线方程为 y e 4e(x 1)，即 y 4ex 3e. (2)函 数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) ln x 1， 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ? ?0， 1e 1e ? ?1e， f( x) 0 f(x) 极小值 当 t 1e时，在区间 t， t 2上 f(x)为增函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x)min f(t) tln t.
5、当 00， b0， d0； a0， b0； a0， d0； a0， b0， c0， d0， f(0) d0. 又 x1， x2是函数 f(x)的极值 点， 且 f( x) 3ax2 2bx c 0， x1， x2是方程 3ax2 2bx c 0 的两根 由图象知， x10， x20 ? x1 x2 2b3a0，x1x2 c3a0.因此 b0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13 (2017 镇江期末 )若函数 f(x) 2x3 2tx2 1 存在唯一的零点，则实数 t 的取值范围为 _ 【答案】 ? ? 32， 14 (2017 苏北四市调研 )如图， OA 是南北方向的一条公路， OB
6、是北偏东 45 方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线 C.为方便游客观光，拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米、 40 万元 /百米建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，则曲线 C 符合函数模型 y x 4 2x2 (1 x9) ，设 PM x，修建两条道路 PM， PN 的总造价为 f(x)万元题中所涉及长度单位均为百米 (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价 解 (1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为 y x 4 2x2 (
7、1 x9) ， PM x，所以点 P 坐标为 ? ?x， x 4 2x2 ， 直线 OB 的方程为 x y 0， 则点 P 到直线 x y 0 的距离为 ? ?x ? ?x 4 2x22 ?4 2x22 4x2，又 PM 的造价为 5 万元 /百米，PN 的造价为 40 万元 /百米 =【 ;精品教育资源文库 】 = 则两条道路总造价为 f(x) 5x 40 4x2 5? ?x 32x2 (1 x9) (2)因为 f(x) 5? ?x 32x2 ， 所以 f( x) 5? ?1 64x3 x3x3 ， 令 f( x) 0，解得 x 4，列表如下： x (1,4) 4 (4,9) f( x) 0 f(x) 极小值 所以当 x 4 时，函数 f(x)有最小值，且最小值为 f(4) 5? ?4 3242 30，即当 x 4 时，总造价 最 低 ， 最 低 造
