1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.3 导数的综合应用 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 导 数 及其应用 导数的综合应用 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C 表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 【知识清单】 考点 1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面： (1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数
2、的取值范围 , (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围 考点 2 利用导数证明不等式问题 利用导数方法证明不等式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x) f(x)g(x) 【考点深度剖析】 1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现 ,是近几年高考命题热 点 ,一般有两种形式考查 : (1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题 . (2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况 ,求参数的值或取值范围问题 . 2.利用导数解
3、决不等式问题是近几年高考热点 ,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间 A 上恒成立 (存在性 ),求参数取值范围 . (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立 . (3)大小比较问题 ,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式 、以 e 为底的指数式或对数式、三角式结构 ,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题 . 【重点难点突破】 考点 1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【 1-1】 设函数 f(x) 12x2
4、 ex xex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若当 x 2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【答案】 (1) 单调减区间为 ( ， ) (2) ( ， 2 e2) 【 1-2】 函数 f(x) x3 3x 1，若对于区间 3,2上的任意 x1， x2，都有 |f(x1) f(x2)| t，则实数 t 的最小值是 _ 【答案】 20. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】因为 f( x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，令 f( x) 0，得 x 1 ，所以 1， 1 为函数的极值点又 f( 3) 19， f( 1) 1， f(1) 3， f(2)
5、1，所以在区间 3,2上 f(x)max 1， f(x)min 19.又由题设知在区间 3,2上 f(x)max f(x)min t，从而 t20 ，所以 t 的最小值是 20. 【思想方法】 (1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数 ，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解 (2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为 f( x)0( 或 f( x)0) 恒成立的问题 (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解 【 温馨提醒 】 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)在 (a， b)上递增
6、 (或递减 )的充要条件应是 f ( x)0( 或 f ( x)0) ， x (a， b)恒成立，且 f ( x)在 (a，b)的任意子区间内都不恒等于 0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减 性并不排斥在区间内个别点处有 f ( x0) 0，甚至可以在无穷多个点处 f ( x0) 0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 考点 2 利用导数证明不等式问题 【 2-1】 已知函数 f(x) 12x2 13ax3(a0)，函数 g(x) f(x) ex(x 1)，函数 g(x)的导函数为g( x) (1)求函数 f(x)的极值； (2)若 a e， ( )求函数 g(x)的单调区间；
7、 ( )求证： x0 时，不等式 g( x)1 ln x 恒成立 【答案】 (1) 极小值为 f(0) 0，极大值为 f? ?1a 16a2. (2) ( ) 单调递增区间是 (0， ) ，单调递减区间是 ( ， 0) ( )详见解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = g( x) x(ex ex 1) ( )记 h(x) ex ex 1，则 h( x) ex e， 当 x ( ， 1)时， h( x)0， h(x)是增函数， h(x) h(1) 10， 则在 (0， ) 上， g( x)0； 在 ( ， 0)上， g( x)0 且 m1) 满足 fn x0fn 1 x0 fn mfn 1 m，
8、试比较 x0与 m 的大小，并加以证明 【答案】 (1) a 1. (2) n 1， (3) 当 m1 时， x0m. 【解析】 (1)f3( x) 3ax2，由 f3(2) 12 得 a 1. (2)gn(x) xn n2ln x 1， g n(x) nxn 1 n2xn xn nx . 因为 x0，令 gn( x) 0 得 x n n， 当 xn n时， gn( x)0， gn(x)是增函数； 当 01，所以 h(m)0， 所以 x0m. 综上所述，当 m1 时， x0m. 【思想方法】 利用导数方法证明不等式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x) f(x)g
9、(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)0，其中一个重要技巧就是找=【 ;精品教育资源文库 】 = 到函数 h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口 【 温馨提醒 】 构造函数 是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数 【易错试题常警惕】 1、函数 ?fx的单调性问题，一般是先确定函数 ?fx的定义域，再求导数 ?fx? ，最后令 ? ? 0fx? ? ，解不等式得 x 的范围就是递增区间；令 ? ? 0fx? ? ，解不等式得 x 的范围就是递减区间 如：设函数 ? ? lnf x x x? ，讨论 ?fx的单调性 【分析】函数 ?fx的定义域是 ? ?0,? ， ? ? 11fx x? ? ，当 ? ? 0fx? ? ，即 1x ? 时，函数 ?fx单调递增，当 ? ? 0fx? ? ，即 01x?时，函数 ?fx单调递减，所以函数 ?fx在 ? ?0,1 上单调递减，在 ? ?1,? 上单调递增 【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误
