1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、 填空 题 1若 x， y 满足不 等式组? x y 30 ，x y 30 ，y 1，则 z 3x y 的最大值为 _ 2 (2017 河南八市高三质检 )已知 x， y 满足约束条件? x2 ，x y4 ， 2x y c0 ，目标函数 z 6x 2y 的最小值是 10，则 z 的最大值是 _ 【解析】由 z 6x 2y， 得 y 3x z2， 作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示 ，由图可知当直线 y 3x z2经过点 C 时 ， 直线的纵截距最小 ， 即 z 6x 2y 取得最小值
2、 10， 由? 6x 2y 10，x 2， 解得 ? x 2，y 1， 即 C(2， 1)， 将其代入直线方程 2x y c 0， 得 c 5， 即直线方程为 2x y 5 0， 平移直 线 3x y 0， 当直线经过点 D时 ， 直线的纵截距最大 ， 此时 z取最大值 ，由? 2x y 5 0，x y 4， 得 ? x 3，y 1， 即 D(3,1)， 将点 D 的坐 标代入目标函数 z 6x 2y， 得 zmax 63 2 20. 3 若 x， y 满足? x y 20 ，kx y 20 ，y0 ，且 z y x 的最小值为 4， 则 k 的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 4
3、(2017 安徽江南十校联考 )若 x， y 满足约束条件? 3x y0 ，x y 40 ，y 12x2，则 z y x 的取值范围为_ 【解析】作出可行域如图所示，设直 线 l： y x z，平移直线 l，易知当 l 过直线 3x y 0 与 x y 4 0的交点 (1,3)时， z取得最大值 2；当 l与抛物线 y 12x2相切时， z取得最小值，由? z y x，y 12x2， 消去 y 得 x2 2x 2z 0，由 4 8z 0，得 z 12，故 12 z2. 5 (2016 浙江高考 )在平面上，过点 P 作直线 l的垂线所得的垂足称为点 P在直线 l 上的投影由区域? x 20 ，
4、x y0 ，x 3y 40中的点在直线 x y 2 0 上的投影构成的线段记为 AB，则 |AB| _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2017 山东济 南三校联考 )已知变量 x， y 满足约束条件? x 2y 30 ，x 3y 30 ，y 10 ，若目标函数 z ax y(其中 a0)仅在点 (1,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为 _ 【解析】约束条件表示 的可行域如图中阴影部分所示，作直线 l： ax y 0，过点 (1,1)作 l 的平行线l ，要满足题意，则直线 l 的斜率介于直线 x 2y 3 0 与直线 y 1 的斜率之间，因此， 12a0，即 0a12. 7若直线
5、 y 2x 上存在点 (x， y)满足约束条件? x y 30 ，x 2y 30 ，x m，则实数 m 的最大值为 _ 【解析】约束条件? x y 30 ，x 2y 30 ，x m表示的可行域如图中阴 影部分所示当直线 x m 从如图所示的实线位置运动到过 A点的虚线位置时， m取最大值解方程组? x y 3 0，y 2x 得 A点坐标为 (1,2)， m的最大值是 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【答案】 1 8已知实数 x， y 满足? x 2y 10 ，x2，x y 10 ，则 z 2x 2y 1 的取值范围是 _ 【答案】 ? ? 53， 5 9已知 x， y 满足? y 20
6、 ，x 30 ，x y 10 ，则 x y 6x 4 的取值范围是 _ 【答案】 ? ?1， 137 【解析】不等式组? y 20 ，x 30 ，x y 10表示的平面区域如图所示， 因为 x y 6x 4 x 4 y 2x 4 1 y 2x 4，而 y 2x 4表示平面区域内的 点与点 A(4,2)连线的斜率， 由图知斜率的最小值为 0，最大值为 kAB 4 2 3 4 67， 所以 1 y 2x 4的取值范围是 ? ?1， 137 ， 即 x y 6x 4 的取值范围是 ? ?1， 137 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10实数 x， y 满足不等式组? x y 20 ，2x y
7、50 ，x y 40 ，则 z |x 2y 4|的最大值为 _ 【答案】 21 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示 z |x 2y 4| |x 2y 4|5 5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x 2y 4 0 的距离的 5倍 由? x y 2 0，2x y 5 0， 得 B 点坐标为 (7,9)，显然点 B 到 直线 x 2y 4 0 的距离最大，此时 zmax 21. 二 、解答题 11若 x， y 满足约束条件? x y1 ，x y 1，2x y2.(1)求目 标函数 z 12x y 12的最值； (2)若目标函数 z ax 2y 仅在点 (1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围 12某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵 需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10小时若生产一个卫兵可获利=【 ;精品教育资源文库 】 = 润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元 (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元 )； (2)怎样分配生产任务才能使每天的 利润最大，最大利润是多少？
