1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 11.2 二项式定理 【最新考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 计数原理 二项式定理 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 【考点深度剖析】 本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到 分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难
2、度中等偏上 . 【课前检测训练】 【判一判】 判断下面结论是否正确 (请在括号中打“”或“” ) (1)Crnan rbr是二项展开式的第 r项 .( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 .( ) (3)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b无关 .( ) (4)在 (1 x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项 .( ) (5)若 (3x 1)7 a7x7 a6x6? a1x a0，则 a7 a6? a1的值为 128.( ) 1. 2. 3. 4. 5. 【练一练】 1. (x y)n的二项展开式中，第 m项的系数是 ( ) A.Cmn B.Cm 1
3、n C.Cm 1n D.( 1)m 1Cm 1n 【答案】 D 【解析】 (x y)n展开式中第 m 项的系数为 =【 ;精品教育资源文库 】 = Cm 1n ( 1)m 1. 2.已知 6e1 1dnxx?，那么 ? ?x 3x n展开式中含 x2项的系数为 ( ) A.130 B.135 C.121 D.139 【答案】 B 3.已知 C0n 2C1n 22C2n 23C3n? 2nCnn 729，则 C1n C2n C3n? Cnn等于 ( ) A.63 B.64 C.31 D.32 【答案】 A 【解析】逆用二项式定理得 C0n 2C1n 22C2n 23C3n? 2nCnn (1 2
4、)n 3n 729，即 3n 36，所以 n 6，所以C1n C2n C3n? Cnn 26 C0n 64 1 63.故选 A. 4. ? ?x2 2x3 5展开式中的常数项为 _. 【答案】 40 【解析】 Tk 1 Ck5(x2)5 k? ? 2x3 k Ck5( 2)kx10 5k. 令 10 5k 0，则 k 2.常数项为 T3 C25( 2)2 40. 5.(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是 _. 【答案】 168 【解析】 (1 x)8的通项为 Ck8xk， (1 y)4的通项为 Ct4yt， (1 x)8(1 y)4的通项为 Ck8Ct4xkyt，令 k 2，
5、t 2，得 x2y2的系数为 C28C24 168. 【题根精选精析】 考点 1 二项式定理 【 1-1】 51 22xy?的展开式中 32yx 的系数是 _. 【答案】 20? 【解析】根据二项式定理可得第 1n? 项展开式为 ? ?55 1 22n nnC x y ? ?,则 2n? 时 , ? ? ? ?253 235 112 1 0 2 2 022n nnC x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 23xy的系数为 20? . 【 1-2】 如果 1111221011)23( xaxaxaax ? ?，那么=【 ;精品教育资源文库 】 = 0
6、211531 ()( aaaaa ? ? 21042 )aa ? ? 的值是 _. 【答案】 1 【 1-3】 若 71()x ax? 的展开式中 x 项的系数为 280，则 a = _. 【答案】 12? 【解析】因为 x 项的系数为 347 1 280C a?，所以 12a? . 【 1-4】已知 231(1 )nx x xx? ? ?的展开式中 没有 常数项， n?*N ，且 2 n 7，则 n=_ 【答案】 5 【解析】二项式定理展开 ? ?2311kk n knx x C x x? ? ? ?化简得 ? ?241 k n knx x C x ? ? ? ，因为不含常数项所以4 , 4
7、 1, 4 2n k n k n k? ? ? ? ?又因为 27n? ，所以 n=5 【 1-5】 9(1 )x? 的展开式中，系数最大的项 是 . 【答案】第 5项 【解析】 19( 1)r r rrT C x? ? ，要使其系数最大，则 r 应为偶数，又在 9rC （ 0,1, 2,3, ,9r ? ）中，当 4r? ,或 5 时 9rC 最大，故当 4r? ,即第 5项系数最大 . 【基础知识】 1. 二项式定理 ? ? ? ?0 1 1 *n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N? ? ? ? ? ? ? ?， 这个公式所
8、表示的定理叫做二项式定理，=【 ;精品教育资源文库 】 = 右边的多项式叫做 ? ?nab? 的二项展开式，其中的系数 rnC ( 0,1, 2,3, ,rn? )叫做二项式系数式中的r n r rnCa b? 叫做二项展开式的通项，用 1rT? 表示，即展开式的第 1r? 项； 1 r n r rrnT C a b? ? . 2二项展开式形式上的特点 (1)项数为 1n? . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n ，即 a 与 b 的指数的和为 n . (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1直到 n
9、. (4)二项式的系数从 0nC ， 1nC ，一直到 1nnC? ， nnC . 3. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等，即 0 nnnCC? ， 11nnnCC? ， ， m n mnnCC? . (2)增减性与最大值：二项式系数 rnC ，当 12nr ? 时，二项式系数是递增的；由对称性知 ： 当 12nr ? 时，二项式系数是递减的 当 n 是偶数时，中间的一项 2nnC 取得最大值 当 n 是奇数时，中间两项 12nnC? 和 12nnC? 相等，且同时取得最大值 (3)各二项式系数的和 ? ?nab? 的展开式的各个二项式系数的 和
10、等于 2n ，即 01 2r n nn n n nC C C C? ? ? ? ? ?， 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 0 2 4 1 3 5 12 nn n n n n nC C C C C C ? ? ? ? ? ? ? ?， 4.注意 :（ 1）分清 r n r rnCa b? 是第 1r? 项，而不是第 r 项 . (2)在通项公式 1 r n r rrnT C a b? ? 中，含有 1rT? 、 rnC 、 a 、 b 、 n 、 r 这六个参数，只有 a 、 b 、 n 、 r 是独立的，在未知 n 、 r 的情况下，用通项公式解题，一般都需
11、要首先将通式转化为方程（组）求出 n 、 r ,然后代入通项公式求解 . (3)求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出 r ，再求所需的某项；有时则需先求 n ,计算时要注意 n 和 r 的取值范围以及 它们 之间的大小关系 . (4) 在 1 r n r rrnT C a b? ? 中， rnC 就是该项的二项式系数，它与 a ， b 的值无关；而 1rT? 项的系数是指化简后字母外的数 5二项式的应用 （ 1）求某些多项式系数的和； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）证明一些简单的组合恒等式； （ 3）证明整除性 , 求数的末位
12、； 数的整除性及求系数； 简单多项式的整除问题； （ 4）近似计算 .当 x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ? ?11nx nx? ? ? ； ? ? ? ? 2111 2n nnx n x x? ? ? ?； （ 5）证明不等式 . 【思想方法】 1.在应用通项公式时，要注意以下几点： 它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； 1rT? 是展开式中的第 1r? 项， 而不是第 r 项； 公式中， a ， b 的指数和为 n 且 a ， b 不能随便颠倒位置； 对二项式 ? ?nab? 展开式的通项公式要特别注意符号问题 在二项式定理的应用中， “ 赋值思想
13、 ” 是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法 2. 二项定理问题的处理方法和技巧 : 运用二项式定理一定要牢记通项 1 r n r rrnT C a b? ? ，注意 ? ?nab? 与 ? ?nba? 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的 (字母 )系数是两个不同的概念，前者只指 rnC ，而后者是字母外的部分前者只与 n 和 r 有关，恒为正，后者还与 a ， b 有关，可 正可负 对于二项式系数问题，应注意以下几点： 求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为 1； 关于组合恒等式的
14、证明，常采用“构造法” 构造函数或构造同一问题的两种算法； 证明不等式时，应注意运用放缩法 . 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求 r ，再求 1rT? ，有时还需先求 n ，再求 r ，才能求出 1rT? . 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏 . 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握 赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项 . 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开
15、，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决 . 多项式乘法的进位规则 :在求系数过程中 ,尽量先化简，降底数的运算级别 ,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令 0x? .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别 . 3. 排列组合在二项展开式中的应用： ? ?nab? 展开式可以由次数、项数和系数来确定 (1)次数的确定 ： 从 n 个相同的 ab? 中各取一个 (a 或 b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是 pqmab ，其中 ,p q N p q n? ? ?. (2)项数的确定 ： 满足条件 ,p q N p
16、q n? ? ?的 ? ?,pq 共 1n? 组 即将 ? ?nab? 展开共 2n 项，合并同类项后共 1n? 项 (3)系数的确定 ： 展开式中含 pqab(p q n? )项的系数为 pnC (即 p 个 a ， q 个 b 的排列数 )因此 ? ?nab? 展开式中的通项是 ： 1 r n r rrnT C a b? ? ( 0,1, 2,3, ,rn? ) ? ? ? ?0 1 1 *n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N? ? ? ? ? ? ? ?这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等 4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配， 分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其
