1、21.1 离散型随机变量及其分布、超几 何分布 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.随机变量及其分布 1.求随机事件发生的概率 2.求随机变量的分布列 B 解答题 2.相互独立事件 求相互独立事件的概率 B 解答题 3.n次独立重复试验的模型及二项分布 1.n 次独立重复试验模型 2.二项分布的求解 B 解答题 4.离散型随机变量的均值与方差 求期望 与方差 B 22题 10分 23题 10分 解答题 分析解读 概率、随机变量与期望是江苏高考的热点 ,试题一般考查离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事
2、件、 n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差等 . 命题探究 (1)取到的 2个颜色相同的球可能是 2个红球、 2个黄球或 2个绿球 , 所以 P= = = . (2)随机变量 X所有可能的取值为 2,3,4. X=4表示的随机事件是 “ 取到的 4个球是 4个红球 ”, 故 P(X=4)= = ; X=3表示的随机事件 是 “ 取到的 4个球是 3个红球和 1个其他颜色的球或 3个黄球和 1个其他颜色的球 ”, 故 P(X=3)= = = ; 于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- - = . 所以随机变量 X的概率分布如下表 : X 2 3 4 P
3、因此随机变量 X的数学期望 E(X)=2 +3 +4 = .五年高考 考点 随机变量及其分布 1.(2013广东理改编 ,4,5分 )已知离散型随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 P 则 X的数学期望 E(X)= . 答案 2.(2017课标全国 理 ,18,12 分 )某超市计划按月订购一种酸奶 ,每天进货量相同 ,进货成本每瓶 4元 ,售价每瓶6元 ,未售出的酸奶降价处理 ,以每瓶 2元的价格当天全部处理完 .根据往年销售经验 ,每天需求量与当天最高气温 (单位 :) 有关 .如果最高气温不低于 25,需求量为 500瓶 ;如果最高气温位于区间 20,25),需求量为 300瓶 ;如果
4、最高气温低于 20,需求量为 200 瓶 .为了确定六月份的订购计划 ,统计了前三年六月份各天的最高气温数据 ,得下面的频数分布表 : 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位 :瓶 )的分布列 ; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位 :元 ).当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位 :瓶 )为多少时 ,Y的数学期望达到最大值 ? 解析 本题考查随机变量的分布列 ,数学期望 . (1)由题
5、意知 ,X所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此 X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知 ,这种酸奶一天的需求量至多为 500瓶 ,至少为 200瓶 ,因此只需考虑 200n500. 当 300n500 时 , 若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间 20,25),则 Y=6300+2(n -300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于 20,则 Y=6200+2(n -200)-4n=800-2n.
6、 因此 EY=2n0.4+(1 200 -2n)0 .4+(800-2n)0.2=640 -0.4n. 当 200n70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故 P(A)=1-P( )=0.91. 10.(2014北京 ,16,13分 )李明在 10场篮球比赛中的投篮情况统计如下 (假设各场比赛相互独立 ): 场次 投篮次 数 命中次 数 场次 投篮次 数 命中次数 主场 1 22 12 客场 1 18 8 主场 2 15 12 客场 2 13 12 主场 3 12 8 客场 3 2
7、1 7 主场 4 23 8 客场 4 18 15 主场 5 24 20 客场 5 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场 ,求李 明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6的概率 ; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场 ,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6的概率 ; (3)记 为表中 10个命中次数的平均数 .从上述比赛中随机选择一场 ,记 X为李明在这场比赛中的命中次数 .比较EX与 的大小 .(只需写出结论 ) 解析 (1)根据投篮统计数据 ,在 10场比赛中 ,李明投篮命中率超过 0.6的场次有 5场 ,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4.
8、 所以在随机选择的一场比赛中 ,李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5. (2)设事件 A为 “ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”, 事件 B为 “ 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”, 事件 C为 “ 在随机选择的一个主场和一个客场中 ,李明的投篮命 中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”. 则 C=A B,A,B独立 . 根据投篮统计数据 ,可知 P(A)= ,P(B)= . P(C)=P(A )+P( B) = + = . 所以 ,在随机选择的一个主场和一个客场中 ,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6的概率为 .
9、(3)EX= . 11.(2014江西 ,21,14分 )随机将 1,2,?,2n(nN *,n2) 这 2n个连续正整数分成 A,B两组 ,每组 n个数 .A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B组最小数为 b1,最大数为 b2.记 =a 2-a1,=b 2-b1. (1)当 n=3时 ,求 的分布列和数学期望 ; (2)令 C表示事件 “ 与 的取值恰好相等 ”, 求事件 C发生的概率 P(C); (3)对 (2)中的事件 C, 表示 C的对立事件 ,判断 P(C)和 P( )的大小关系 ,并说明理由 . 解析 (1)当 n=3时 , 的所有可能取值为 2,3,4,5. 将 6个正整数平均
10、分成 A,B 两组 ,不同 的分组方法共有 =20种 ,所以 的分布列为 2 3 4 5 P E=2 +3 +4 +5 = . (2) 和 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,?,2n -2. 又 和 恰好相等且等于 n-1时 ,不同的分组方法有 2种 ; 和 恰好相等且等于 n时 ,不同的分组方法有 2种 ; 和 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,?,n -2)(n3) 时 ,不同的分组方法有 2 种 , 所以当 n=2时 ,P(C)= = , (3)由 (2)知当 n=2时 ,P( )= ,因此 P(C)P( ), 而当 n3 时 ,P(C)P( ).理由如下 : 用数学归纳法
11、来证明 : (i)当 n=3时 , 式左边 =4(2+ )=4(2+2)=16, 式右边 = =20,所以 式成立 . 那么 ,当 n=m+1时 , 即当 n=m+1时 式也成立 . 综合 (i),(ii)得 ,对于 n3 的所有正整数 ,都有 P(C)P( )成立 . 12.(2013湖南理 ,18,12分 )某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形地块的每个格点 (指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点 )处都种了一株相同品种的作物 .根据历年的种植经验 ,一株该种作物的年收 获量 Y(单位 :kg)与它的 “ 相近 ” 作物株数 X之间的关系如下表所示 : X 1 2 3 4 Y 51 4
12、8 45 42 这里 ,两株作物 “ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过 1米 . (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 ,求它们恰好 “ 相近 ” 的概率 ; (2)从所种作物中随机选取一株 ,求它的年收获量的分布列与数学期望 . 解析 (1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株数为 12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种 .选取的两株作物恰好 “ 相近 ” 的不同结果有 3+3+2=8种 . 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 ,它们恰好 “ 相近 ” 的概率为 =
13、 . (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y的分布列 . 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4). 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可 . 记 nk为其 “ 相近 ” 作物恰有 k(k=1,2,3,4)株的作物株数 ,则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = . 故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P 所求的数学期望为 E(Y)=51 +48 +45 +42
14、= =46. 13.(2013浙江理 ,19,14分 )设袋子中装有 a个红球 ,b 个黄球 ,c个蓝球 ,且规定 :取出一个红球得 1分 ,取出一个黄球得 2分 ,取出一个蓝球得 3分 . (1)当 a=3,b=2,c=1时 ,从该袋子中任取 (有放回 ,且每球取到的机会均等 )2个球 ,记随机变量 为取出此 2球所得分数之 和 ,求 的分布列 ; (2)从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1个球 ,记随机变量 为取出此球所得分数 .若 E= ,D= ,求abc. 解析 (1)由题意得 =2,3,4,5,6. 故 P(=2)= = , P(=3)= = , P(=4)= = , P(=5)= = , P(=6)= = . 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P (2)由题意知 的分布列为 1 2 3
