1、20.1 两个计数原理、排列与组合 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合 计数问题 B 23题 10分 2.二项式定理 二项式定理展开式及其运用 B 分析解读 江苏高考对两个计数原理、排列、组合、二项式定理的考查往往与集合 ,数列 ,概率进行综合 ,难度大 ,考查二项式定理的题目类型主要是 证明某些整除问题或求余数 ; 证 明有关不等式 ,也可能与概率 ,数学归纳法综合在一起考查 . 命题探究 答案 :14 解析 :当 m=4时 ,数列 an共有 8项 ,其中 4项
2、为 0,4项为 1,要满足对任意 k8,a 1,a2,?,a k中 0的个数不少于 1的个数 ,则必有 a1=0,a8=1,a2可为 0,也可为1.(1)当 a2=0 时 ,分以下 3种情况 : 若 a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为 0均可 ,则有 =4种情况 ;若 a3=1,a4=0,则 a5,a6,a7中任意一个为 0均可 ,有 =3种情况 ; 若 a3=1,a4=1,则 a5必为 0,a6,a7中任一 个为0均可 ,有 =2种情况 ;(2)当 a2=1 时 ,必有 a3=0,分以下 2 种情况 : 若 a4=0,则 a5,a6,a7中任一个为 0 均可 ,有 =3种情况 ;
3、 若 a4=1,则 a5必为 0,a6,a7中任一个为 0均可 ,有 =2种情况 .综上所述 ,不同的 “ 规范 01数列 ” 共有 4+3+2+3+2=14个 .五年高考 考点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合 1.(2017山东理改编 ,8,5分 )从分别标有 1,2,?,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次 ,每次抽取 1张 .则抽到的 2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 . 答案 2.(2017课标全国 理改编 ,6,5分 )安排 3名志愿者完成 4项工作 ,每人至少完成 1项 ,每项工作由 1人完成 ,则不同的安排方式共有 种 . 答案 36 3.(2017浙江
4、,16,5分 )从 6男 2女共 8名学生中选出队长 1人 ,副队长 1人 ,普通队员 2人组成 4人服务队 ,要求服务队中至少有 1名女生 ,共有 种不同的选法 .(用数字作答 ) 答案 660 4.(2017天津理 ,14,5分 )用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字 ,且至多有一个数字是偶数的四位 数 ,这样的四位数一共有 个 .(用数字作答 ) 答案 1 080 5.(2016课标全国 理改编 ,5,5分 )如图 ,小明从街道的 E处出发 ,先到 F处与小红会合 ,再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动 ,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 . 答案 1
5、8 6.(2016四川理改编 ,4,5分 )用数字 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 ,其中奇数的个数为 . 答案 72 7.(2015广东 ,12,5分 )某高三毕业班有 40 人 ,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 ,那么全班共写了 条毕业留言 .(用数字 作答 ) 答案 1 560 8.(2015四川改编 ,6,5分 )用数字 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 ,其中比 40 000 大的偶数共有 个 . 答案 120 9.(2014四川改编 ,6,5分 )六个人从左至右排成一行 ,最左端只能排甲或乙 ,最右端不能排甲 ,则不同的排法共有 种 . 答案 21
6、6 10.(2014安徽改编 ,8,5分 )从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 ,其中所成的角为 60 的共有 对 . 答案 48 11.(2014 重庆改编 ,9,5 分 )某次联欢会要安排 3 个歌舞类节 目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演 出顺序 ,则同类节目不相邻的排法种数是 . 答案 120 12.(2016江苏 ,23,10分 ) (1)求 7 -4 的值 ; (2)设 m,nN *,nm, 求证 : (m+1) +(m+2) +(m+3) +?+n +(n+1) =(m+1) . 解析 (1)7 -4 =7 -4 =0. (2)证明 :当 n=m时 ,结论显然成
7、立 .当 nm时 , (k+1) = =(m+1) =(m+1) ,k=m+1,m+2,?,n. 又因为 + = , 所以 (k+1) =(m+1)( - ),k=m+1,m+2,?,n. 因此 ,(m+1) +(m+2) +(m+3) +?+(n+1) =(m+1) +(m+2) +(m+3) +?+(n+1) =(m+1) +(m+1)( - )+( - )+?+( - )=(m+1) . 教师用书专用 (13 19) 13.(2013福建理改编 ,5,5分 )满足 a,b -1,0,1,2,且关于 x的方程 ax2+2x+b=0有实数解的有序数对 (a,b)的个数为 . 答案 13 14
8、.(2013浙江理 ,14,4分 )将 A,B,C,D,E,F六个字母排成一排 ,且 A,B均在 C的同侧 ,则不同的排法共有 种 (用数字作答 ). 答案 480 15.(2014浙江 ,14,5分 )在 8张奖券中有一、二、三等奖各 1张 ,其余 5张无奖 .将这 8张奖券分配给 4个人 ,每人 2张 ,不同的获奖情况有 种 (用数字作答 ). 答案 60 16.(2014大纲全国改编 ,5,5 分 )有 6名男医生、 5名女医生 ,从中选出 2名男医生、 1名女医生组成一个医疗小组 .则不同的选法共有 种 . 答案 75 17.(2014北京 ,13,5分 )把 5件不同产品摆成一排 .
9、若产 品 A与产品 B相邻 ,且产品 A与产品 C不相邻 ,则不同的摆法有 种 . 答案 36 18.(2013重庆理 ,13,5分 )从 3名骨科、 4名脑外科和 5 名内科医生中选派 5人组成一个抗震救灾医疗小组 ,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1人的选派方法种数是 (用数字作答 ). 答案 590 19.(2013北京理 ,12,5分 )将序号分别为 1,2,3,4,5的 5张参观券全部分给 4人 ,每人至少 1张 .如果分给同一人的 2张参观券连号 ,那么不同的分法种数是 . 答案 96 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
10、、排列与组合 1.(2018山东师大附中第三次模拟 )将编号为 1,2,3,4的球放入编号为 1,2,3的盒子中 ,要求不允许有空盒子 ,且球与盒子的编号不能相同 ,则 不同的放法有 种 . 答案 12 2.(苏教选 2 3,一 ,3,5,变式 )房间里有 5个电灯 ,分别由 5个开关控制 ,至少开一个灯用以照明 ,则不同的开灯方法种数为 . 答案 31 3.(2017江苏泰州期中 )将数字 1,2,3,4,5,6按第一行 1 个数 ,第二行 2个数 ,第三行 3个数的形式随机排列 ,设Ni(i=1,2,3)表示第 i行中最大的数 ,则满足 N1b),记 An为满足 a+b能被 2整除的取法种
11、数 . (1)当 n=6时 ,求 An; (2)求 An. 解析 (1)当 n=6时 ,集合中偶数为 2,4,6;奇数为 1,3,5. 要使 a+b为偶数 ,则 a,b同奇或同偶 ,共有 + =6种取法 ,即 A6=6. (2) 当 n=2k(k2,kN *)时 ,集合为 1,2,3,?,2k. 记 A=1,3,5,?,2k -1,B=2,4,6,?,2k, 因为 a+b能被 2整除 ,所以 a,b应同是奇数或同是偶数 ,所以 a,b应取自同一个集合 A或 B, 故有 + = + =k(k-1)种取法 . 即 An= = . 当 n=2k+1(k2,kN *)时 , 集合为 1,2,3,?,2
12、k+1. 将其分为两个集合 :奇数集 A=1,3,?,2k+1, 偶数集 B=2,4,?,2k. 因为 a+b能被 2整除 ,所以 a,b应同是奇数或同是偶数 ,所以 a,b应该取自同一个集合 A或 B. 故有 + = + =k2种取法 , 即 An= = . 所以 An= 8.(苏教选 2 3,一 ,3,11,变式 )某医院从 10名医疗专家中抽调 6名组成医疗小组到社区义诊 ,其中这 10 名医疗专家中有 4名是 外科专家 .问 : (1)抽调的 6名专家中恰有 2名是外科专家的抽调方法有多少种 ? (2)至少有 2名外科专家的抽调方法有多少种 ? (3)至多有 2名外科专家的抽调方法有多
13、少种 ? 解析 (1)首先从 4 名外科专家中抽调 2 名 ,有 种抽调方法 ,再从 6 名非外科专家中抽调 4 名 ,有 种抽调方法 ,所以共有 =90种抽调方法 . (2)解法一 :(直接法 )按抽调的外科专家的人数分类 : 抽调 2名外科专家 ,共有 种抽调方法 ; 抽调 3名外科专家 ,共有 种抽调方法 ; 抽调 4名外科专家 ,共有 种抽调方法 , 根据分类加法计数原 理 ,共有 + + =185种抽调方法 . 解法二 :(间接法 )不考虑是否有外科专家 ,共有 种抽调方法 ,若抽调 1 名外科专家参加 ,则有 种抽调方法 ;若没有外科专家参加 ,则有 种抽调方法 , 所以共有 -
14、- =185种抽调方法 . (3)“ 至多有 2名 ” 包括 “ 没有 ”“ 有 1名 ”“ 有 2名 ” 三种情况 , 没有外科专家参加 ,有 种抽调方法 ; 有 1名外科专家参加 ,有 种抽调方法 ; 有 2名外科专家参加 ,有 种抽调方法 . 所以共有 + + =115种抽调方法 . B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :35分 时间 :20分钟 ) 一、填空题 (每小题 5分 ,共 5分 ) 1.(2017江苏扬州期末 )如图 ,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F六个点涂色 ,要求每个 点涂一种颜色 ,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 ,则不同的涂色方法共
15、有 种 . 答案 264 二、解答题 (共 30分 ) 2.(2017江苏扬州中学质检 )在正整数列 1,2,3,?,n 中 ,任取 k个元素位置保持不动 ,将其余 (n-k)个元素变动位置 ,得到不同的新数列 .由此产生的不同新数列的个数记为 Pn(k). (1)求 P3(1); (2)求 P4(k); (3)证明 kPn(k)=n Pn-1(k),并求出 kPn(k)的值 . 解析 (1)当 n=3时 ,数列为 1,2,3,保持其中 1个元素位置不动 ,将其余 2个元素变动位置 ,可能得到的新数列只有 1,3,2或 3,2,1或 2,1,3, 所以 P3(1)=3. (2) P4(k)=P
16、4(0)+P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4) = (1+2)+ + +0+1=9+8+6+0+1=24. (3)在数列 1,2,?,n 中任取其中 k个元素位置不动 ,有 种取法 ;其余 (n-k)个元素重新排列 ,并且使其余 n-k个元素都要改变位置 ,则有 Pn(k)= Pn-k(0), 故 kPn(k)= k Pn-k(0),又因为 k =n (k1), 所以 kPn(k)= k Pn-k(0) =n Pn-k-1(0)=n Pn-1(k). 令 an= kPn(k),则 an=nan-1,n2, 且 a1=1. 于是 a2a3a4?a n-1an=2a13a 24a 3?n
17、a n-1, 左右同除以 a2a3a4?a n-1,得 an=2a134?n=n!, 所以 kPn(k)=n!. 3.(2017江苏南通、扬州、泰州第二 次调研 )设 S4k=a1+a2+?+a 4k(kN *),其中 ai0,1(i=1,2,?,4k). 当 S4k除以 4的余数是 b(b=0,1,2,3)时 ,数列 a1,a2,?,a 4k的个数记为 m(b). (1)当 k=2时 ,求 m(1)的值 ; (2)求 m(3)关于 k的表达式 ,并化简 . 解析 (1)当 k=2时 ,m(1)表示数列 a1,a2,a3,?,a 8中有 1个 1或 5个 1,其余为 0,所以 m(1)= + =64. (2)依题意 ,m(3)表示数列 a1,a2,?,a 4k中有 3个 1,或 7 个 1,或 11 个 1,?, 或 (4k-1)个 1,其余为 0, 所以 m(3)= + + +?+ . 同理 ,得 m(1)= + +
