1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型 1 先后抛掷硬币三次 ， 则至少一次正面朝上的概率是 _ 解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为 18， 故 P 1 18 78. 答案： 78 2. 如图 ， 在一不规则区域内 ， 有一边长为 1 米的正方形 ， 向区域内随机地撒 1 000 颗黄豆 ， 数得落在正方形区域内 (含边界 )的黄豆数为 375颗 ， 以此实验数据为依据 ， 可以估计出该不规则图形的面积为 _平方米 解析：设该 不规则图形的面积为 x 平方米 ， 向区域内随机地撒 1 000 颗黄豆 ， 数得落在正方形区域内 (含边界 )的黄豆数
2、为 375， 所以根据几何概型的概率计算公式可知 3751 000 1x，解得 x 83. 答案： 83 3 已知函数 f(x) x2 x 2， x 5， 5， 若从区间 5， 5内随机抽取一个实数 x0，则所取 的 x0满足 f(x0)0 的概率为 _ 解析：令 x2 x 20 ， 解得 1 x2 ， 由几何概型的概率计算公式得 P 2（ 1）5（ 5） 310 0.3. 答案： 0.3 4 从 2， 3， 8， 9 中任取两个不同的数字 ， 分别记为 a， b， 则 logab 为整数的概率是_ 解析：从 2， 3， 8， 9 中任取两个不同的数字 ， (a， b)的所有可能结果有 (2，
3、 3)， (2， 8)，(2， 9)， (3， 2)， (3， 8)， (3， 9)， (8， 2)， (8， 3)， (8， 9)， (9， 2)， (9， 3)， (9， 8)，共 12 种 ， 其中 log28 3， log39 2 为整数 ， 所以 logab 为整数的概率为 16. 答案： 16 5 围棋盒子中有多粒黑子和白子 ， 已知从中取 出 2 粒都是黑子的概率为 17， 都是白子的=【 ;精品教育资源文库 】 = 概率是 1235， 则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 _ 解析：设 “ 从中取出 2 粒都是黑子 ” 为事件 A，“ 从中取出 2 粒都是白子 ” 为事件
4、 B，“ 任意取出 2 粒恰好是同一色 ” 为事件 C， 则 C A B， 且事件 A 与 B 互斥所以 P(C) P(A)P(B) 17 1235 1735.即任意取出 2 粒恰好是同一 色的概率为 1735. 答案： 1735 6 (2018 镇江模拟 )设 m， n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数 ， 且向量 a (m， n)，b (1， 1)， 则向量 a， b 的夹角为锐角的概率是 _ 解析：所有的 基本事件的个数有 36 个 ， 因为向量 a， b 的夹角为锐角 ， 所以 ab 0 且 a，b 不共线 ， 即 m n0 且 m n， 故满足条件的基本事件有 1 2 3 4 5 1
5、5 个 ， 故所求的概率为 P 1536 512. 答案： 512 7 连续 2 次抛掷一枚骰子 (六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6)， 记 “ 两次向上的数字之和等于 m” 为事件 A， 则 P(A)最大时 ， m _ 解析： m 可能取到的值有 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 对应的基本事件个数依次为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 5， 4， 3， 2， 1， 所以两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大 答案： 7 8 (2018 郑州模拟 )若不等式 x2 y2 2 所表示的平面区域 为 M， 不等式组?x
6、 y0 ，x y0 ，y 2x 6表示的平面区域为 N， 现随机向区域 N 内抛一粒豆子 ， 则豆子落在区域 M 内的概率为 _ 解析：作出 不等式组与不等式表示的可行域如图所示 ， 平面区域 N 的面积为 12 3 (6 2) 12， 区域 M 在区域 N 内的面积为 14 ( 2)2 2 ， 故所求概率 P21224. 答案： 24 9 (2018 江苏省高考名校联考 (九 )2017 年 1 月 18 日支付宝集福活动 “ 又 ” 来了 ， 假定每次扫福都能得到一张福卡 (福卡一共有五种：爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福 )，且得到每一种类型福卡的概率相同 ， 若小张已经得到了富强
7、福、和谐福、 友善福，则小张再=【 ;精品教育资源文库 】 = 扫两次可以集齐五福的概率为 _ 解析：再扫两次得到福卡的所有情况有 (爱国福 ， 爱国福 )、 (爱国福 ， 富强福 )、 (爱国福 ，和谐福 )、 (爱国福 ， 友善福 )、 (爱国福 ， 敬业福 )、 (富强福 ， 爱国福 )、 (富强福 ， 富强福 )、(富强福 ， 和谐福 )、 (富强福 ， 友善福 )、 (富强福 ， 敬业福 )、 (和谐福 ， 爱 国福 )、 (和谐福 ，富强福 )、 (和谐福 ， 和谐福 )、 (和谐福 ， 友善福 )、 (和谐福 ， 敬业福 )、 (友善福 ， 爱国福 )、(友善福 ， 富强福 )、
8、 (友善福 ， 和谐福 )、 (友 善福 ，友善福 )、 (友善福，敬业福 )、 (敬业福，爱国福 )、 (敬业福，富强福 )、 (敬业福，和谐福 )、 (敬业福，友善福 )、 (敬业福，敬业福 )，共 25 种 ， 记 “ 小张再扫两次可以集齐五福 ” 为事件 M， 则事件 M 包含的情况有 (爱国福 ， 敬业福 )、 (敬业福 ， 爱国福 )， 共 2 种 ， 根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为 P(M) 225. 答案： 225 10 (2018 江苏省高考命题研究专家原创卷 (七 )若一 次函数 f(x) 2ax 5满足 a 3， 2且 a0 ， 则 f(x)0 在 x0 ， 2
9、上恒成立的概率为 _ 解析：由题意可得函数 f(x) 2ax 50 在 x0 ， 2上恒成立 ， 当 x 0 时 ， 50 ，显然恒成立；当 x(0 ， 2时 ， 可化为 a 52x， 而 y 52x在 x(0 ， 2上的最小值为 54， 所以 a 54，结合 a 3， 2且 a0 ， 得 a 3， 0) (0， 54， 由几何概型的概率计算公式可得 f(x) 0 在 x0 ， 2上恒成立的概率 P（ 54 0） 0（ 3） （ 2 0） 0（ 3） 1720. 答案： 1720 11 一个盒子里装有三张卡片 ， 分别标记有数字 1， 2， 3， 这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽
10、取 3 次 ， 每次抽取 1 张 ， 将抽取的卡片上的数字依次记为 a， b，c. (1)求 “ 抽取的卡片上的数字满足 a b c” 的概率； (2)求 “ 抽取的 卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 的概率 解 (1)由题意知 ， (a， b， c)所有的可能为 (1， 1， 1)， (1， 1， 2)， (1， 1， 3)， (1， 2，1)， (1， 2， 2)， (1， 2， 3)， (1， 3， 1)， (1， 3， 2)， (1， 3， 3)， (2， 1， 1)， (2， 1， 2)，(2， 1， 3)， (2， 2， 1)， (2， 2， 2)， (2， 2， 3)
11、， (2， 3， 1)， (2， 3， 2)， (2， 3， 3)， (3，1， 1)， (3， 1， 2)， (3， 1， 3)， (3， 2， 1)， (3， 2， 2)， (3， 2， 3)， (3， 3， 1)， (3， 3，2)， (3， 3， 3)， 共 27 种 设 “ 抽取的卡片上的数字满足 a b c” 为事件 A， 则事件 A 包括 (1， 1， 2)， (1， 2， 3)， (2， 1， 3)， 共 3 种 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 P(A) 327 19. 因此 ，“ 抽取的卡片上的数字满足 a b c” 的概率为 19. (2)设 “ 抽取的卡片上的数字
12、 a， b， c 不完全相同 ” 为事件 B， 则事件 B 包括 (1， 1， 1)，(2， 2， 2)， (3， 3， 3)， 共 3 种 所以 P(B) 1 P(B) 1 327 89. 因此 ，“ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 的概率为 89. 12 (2018 南通模拟 )体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班 50 名学生参加测试的结果如下： 等级 优 良 中 不及格 人数 5 19 23 3 (1)从该班任意抽取 1 名学生 ， 求这名学生的测试成绩为 “ 良 ” 或 “ 中 ” 的概率； (2)若测试成绩为 “ 优 ” 的 3 名男生记为 a1，
13、a2， a3， 2 名女生记 为 b1， b2.现从这 5 人中任选 2 人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本 事件； 求参赛学生中恰有 1 名女生的概率 解 (1)记 “ 测试成绩为良或中 ” 为事件 A，“ 测试成绩为良 ” 为事件 A1，“ 测试成绩为中 ” 为事件 A2， 事件 A1， A2是互斥的 由已知 ， 有 P(A1) 1950， P(A2) 2350. 因为当事件 A1， A2之一发生时 ， 事件 A 发生 ， 所以由互斥事件 的概率公式 ，得 P(A) P(A1 A2) P(A1) P(A2) 1950 2350 2125.故这名学生的测试成绩为 “ 良 ” 或“
14、 中 ” 的概率为 2125. (2) 有 10 个基本事件： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2， b1)，(a2， b2)， (a3， b1)， (a3， b2)， (b1， b2) 记 “ 参赛学生中恰好有 1 名女生 ” 为事件 B. 在上述等可能的 10 个基本事件中 ， 事件 B 包含了 (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， b1)， (a3， b2) 故所求的概率为 P(B) 610 35. =【 ;精品教育资源文库 】 = 即参赛 学生中恰有 1 名女生的
15、概率为 35. 1 现有 10 个数 ， 它们能构成一个以 1 为首项 ， 3 为公比的等比数列 ， 若从这 10 个数中随机抽取一个数 ， 则它小于 8 的概率是 _ 解析 由题意得 an ( 3)n 1， 易知前 10 项中奇数项为正 ， 偶数项为负 ， 所以小于 8的项为第一项和偶数项 ， 共 6 项 ， 即 6 个数 ， 所以 P 610 35. 答案 35 2 (2018 江苏省重点中学领航高考冲刺卷 (四 )若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m， n 作为点 P 的坐标 ， 则点 P 落在直线 x 3y 15 两侧的概率为 _ 解析 由题意可知 m1 ， 2， 3， 4， 5， 6
16、， n 1， 2， 3， 4， 5， 6， 点 P(m， n)共有36 种可能 ， 其中只有当?m 3n 4和 ?m 6n 3时 ， 点 P 落在直线 x 3y 15 上 ， 故点 P 落在直线 x3y 15 两侧的概率为 P 1 236 1718. 答案 1718 3 一个三位数的百位 ， 十位 ， 个位上的数字依次为 a， b， c， 当且仅当 ab， bc 时称为 “ 凹数 ”( 如 213， 312 等 )， 若 a， b， c 1， 2， 3， 4， 且 a， b， c 互不相同 ， 则这个三位数为 “ 凹数 ” 的概率是 _ 解析 由 1， 2， 3 组成的三位数有 123， 132， 213， 231，
