1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 15.3 抛物线 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.抛物线的定义和标准方程 1.抛物线定义的应用 2.求抛物线的标准方程 A 填空题 解答题 2.抛物线的性质 抛物线的几何性质及简单运用 A 填空题 解答题 分析解读 抛物线在近年高考中没有单独考查 ,是命题冷点 .若高考出题考查 ,试题难度也会比较低 ,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用 . 五年高考 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2016四川改编 ,3,5分 )抛物线 y2=4x的焦点坐标是 . 答案 (1
2、,0) 2.(2015陕西 ,14,5分 )若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1的一个焦点 ,则 p= . 答案 2 3.(2014湖南 ,15,5分 )如图 ,正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F两点 ,则 = . 答案 1+ 教师用书专用 (4) 4.(2013广东理 ,20,14分 )已知抛物线 C的顶点为原点 ,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为 .设P为直线 l上的点 ,过点 P作抛物线 C的两条切线 PA,PB,其中 A,B为切点 . (1)求抛物线 C的方程 ; (2)当点 P(x0,y0
3、)为直线 l上的定点时 ,求直线 AB的方程 ; (3)当点 P在直线 l上移动时 ,求 |AF|BF| 的最小值 . 解析 (1)依题意 ,设抛物线 C的方程为 x2=4cy,由题意易知 = 且 c0,解得 c=1. 所以抛物线 C的方程为 x2=4y. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)抛物线 C的方程为 x2=4y,即 y= x2, 求导得 y= x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则切线 PA,PB的斜率分别为 x1, x2, 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2
4、x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB均过点 P(x0,y0),所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以 (x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0的两组解 . 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知 |AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以 |AF|BF|=(y 1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程 消去 x整理得 y2+(2y0- )y+ =0. 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2= -2y0,y1y2= , 所以 |AF|BF|=y 1y2+(y1+y
5、2)+1= + -2y0+1. 又点 P(x0,y0)在直线 l上 ,所以 x0=y0+2, 所以 + -2y0+1=2 +2y0+5=2 + . 所以当 y0=- 时 ,|AF|BF| 取得最小值 ,且最小值为 . 考点二 抛物线的性质 1.(2017课标全国 文改编 ,12,5分 )过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方 ),l为 C的准线 ,点 N在 l上且 MNl, 则 M到直线 NF 的距离为 . 答案 2 2.(2017课标全国 理 ,16,5 分 )已知 F是抛物线 C:y2=8x 的焦点 ,M是 C上一点 ,FM的延长线交 y轴于
6、点 N.若 M为 FN的中点 ,则 |FN|= . 答案 6 3.(2016浙江理 ,9,4分 )若抛物线 y2=4x上的点 M到焦点的距离为 10,则 M到 y轴的距离是 . 答案 9 4.(2014课标 改编 ,10,5分 )设 F为抛物线 C:y2=3x的焦点 ,过 F且倾斜角为 30 的直线交 C于 A,B两点 ,O为坐标原点 ,则 OAB 的面积为 . 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2013江西理 ,14,5分 )抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1相交于 A,B两点 ,若 ABF 为等边三角形 ,则 p= . 答案 6 6.(2017北
7、京理 ,18,14分 )已知抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1).过点 作直线 l与抛物线 C交于不同的两点M,N,过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP,ON交于点 A,B,其 中 O为原点 . (1)求抛物线 C的方程 ,并求其焦点坐标和准线方程 ; (2)求证 :A为线段 BM 的中点 . 解析 本题考查抛物线方程及性质 ,直线与抛物线的位置关系 . (1)由抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1),得 p= . 所以抛物线 C的方程为 y2=x. 抛物线 C的焦点坐标为 ,准线方程为 x=- . (2)由题意 ,设直线 l的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C的交点为
8、 M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则 x1+x2= ,x1x2= . 因为点 P的坐标为 (1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A的坐标为 (x1,x1).直线 ON的方程为 y= x,点 B的坐标为 . 因为 y1+ -2x1= = = = =0, 所以 y1+ =2x1. 故 A为线段 BM的中点 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.(2016课标全国 ,20,12 分 )在直角坐标系 xOy中 ,直线 l:y=t(t0) 交 y轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M关于点 P的对称点为 N,连结 O
9、N并延长交 C于点 H. (1)求 ; (2)除 H以外 ,直线 MH 与 C是否有其他公共点 ?说明理由 . 解析 (1)由已知得 M(0,t),P .(1分 ) 又 N为 M关于点 P的对称点 ,故 N ,ON的方程为 y= x,代入 y2=2px整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= . 因此 H .(4分 ) 所以 N为 OH 的中点 ,即 =2.(6分 ) (2)直线 MH与 C除 H以外没有其他公共点 .(7分 ) 理由如下 : 直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t).(9分 ) 代入 y2=2px得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t
10、,即直线 MH 与 C只有一个公共点 ,所以除 H以外直线 MH与 C没有其他公共点 .(12分 ) 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基 础题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2017江苏泰州姜堰模拟 ,7)抛物线 y2=4x上任一点到定直线 l:x=-1的距离与它到定点 F的距离相等 ,则点 F的坐标为 . 答案 (1,0) 2.(苏教选 2 1,二 ,4,10,变式 )已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 A、 B两点 ,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的方程为 . 答案 y2=4x 3.(2016江苏扬州中学周测 ,4)
11、抛物线 y=2x2的准线方程为 . 答案 y=- 考点二 抛物线的性质 4.(2018江苏海安高三阶段测试 )抛物线 y2=x的准线的方程为 . 答案 x=- 5.(2018江苏扬州中学月考 )抛物线 y2=4x的焦点到双曲线 - =1的渐近线的距离为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 6.(2017江苏淮海中学调研 )O为坐标原点 ,F为抛物线 C:y2=4 x的焦点 ,P为 C上一点 ,若 PF=4 ,则 POF 的面积为 . 答案 2 7.(2017江苏泰州三校期中联考 )已知点 A(-2,1),y2=-4x的焦点是 F,P是 y2=-4x上的点 ,为 使 PA+PF取得最小值
12、 ,P点的坐标是 . 答案 8.(苏教选 2 1,二 ,4,12,变式 )已知抛物线 y2=2px(p0)的 焦点弦 AB的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于 . 答案 -4 9.(2018江苏姜堰中学高三期中 )已知抛物线 C:x2=4y,直线 l过点 (2,1). (1)若直线 l与抛物线 C只有一个公共点 ,求直线 l的方程 ; (2)若直线 l与抛物线 C相交于 A,B两点 ,且抛物线 C在 A,B两点处的切线的交点在抛物线的准线上 ,求直线 l的方程 . 解析 (1)(2,1)满足 x2=4y, 点 (2,1)在抛物线上 ,若 l 与抛物线 C只有
13、一个公共点 ,则 l与对称轴平行或与抛物线相切 ,当 ly 轴时 ,方程为 x=2. 当 l与抛物线相切时 ,由 y= ,得 y= , 抛物线在 (2,1)处的切线斜率 k= =1, 切线方程为 y=x-1. 直线 l的方程为 x=2或 y=x-1. (2)易知点 (2,1)为直线 l与抛物线 C的交点 ,设 A(2,1),则抛物线在 A处的切线为 y=x-1,与准线 y=-1的交点为(0,-1),则过点 B的切线也与准线交于点 (0,-1),设 B ,m2, 则抛物线在点 B处的切线方程为 y- = (x-m).易知点 (0,-1)在此切线上 , -1- = (0-m),解得 m=-2,B(
14、 -2,1), 直线 l的方程为 y=1. B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :35分 时间 :15分钟 ) 一、填空题 (每小题 5分 ,共 5分 ) 1.(2016江苏扬州中学月考 ,12)已知抛物线的顶点在坐标原点 ,焦点在 x轴上 ,ABC 的三个顶点都在抛物线上 ,并且 ABC 的重心是抛物线的焦点 ,BC边所在的直线方程为 4x+y-20=0,则抛物线的方程为 . 答案 y2=16x 二、解答题 (共 30分 ) 2.(2017江苏连云港白塔中学 期中 )已知抛物线 y2=4x,过点 M(0,2)的直线 l与该抛物线交于 A,B两点 ,且直线 l与 x轴交于点 C
15、. (1)求证 :MA,MC,MB成等比数列 ; (2)设 = , = ,求证 :+ 为定值 . 证明 (1)易知 ,直线 l的斜率存在 ,且不为 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设直线 l的方程为 y=kx+2(k0), 则 C . 由 得 k2x2+(4k-4)x+4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x 1x 2= , MAMB= |x1-0| |x2-0|= , 而 MC2= = , MC 2=MAMB0 ,即 MA,MC,MB 成等比数列 . (2)由 = , = 得 (x1,y1-2)= ,(x2,y2-2)= , = ,= ,+= . 将
16、 (1)中 代入得 += -1,故 + 为定值 . 3.(2016江苏扬州期末 ,18)某隧道设计为双向四车道 ,车道总宽 20米 ,要求通行车辆限高 4.5米 ,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分 ,如图所示 ,建立平面直角坐标系 xOy. (1)若最大拱高 h为 6米 ,则隧道设计的拱宽 l是多少 ? (2)为了使施工的土方工程量最小 ,需隧道口截面面积最小 .现隧道口的最 大拱高 h不小于 6米 ,则应如何设计拱高 h和拱宽 l,使得隧道口截面面积最小 ? 解析 (1)设抛物线的方程为 :y=-ax2(a0),因为抛物线过点 , - =-a100, 所以 a= ,y= - x2
17、. 令 y=-6,解得 :x=20, 所以隧道设计的拱宽 l是 40米 . (2)因为抛物线最大拱高为 h米 ,所以抛物线过点 ,代入抛物线方程得 :a= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 y=- x2. 令 y=-h,则 - x2=-h,解得 :x2= , 则 = ,h= , h6, 6, 即 200,即 S在 (20,20 )上单调递减 ,在 (20 ,40上单调递增 ,S 在l=20 时取得最小值 ,此时 l=20 ,h= . 答 :当拱高为 米 ,拱宽为 20 米时 ,隧道口截面面积最小 . C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 求抛物线方程的方法 1.(2016福建厦门质检 )如图 ,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A、 B,交其准线 l于点 C,若BC=2BF,且 AF=3,则此抛物线的方程为 . 答案 y2=3x 2.如图 ,已知抛物线 y2=2px(p0)有一个内接直角三角形 ,直角顶点在原点 ,两直角边 OA 与
