1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 15.2 双曲线 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.双曲线的定义和标准方程 求双曲线的标准方程 A 填空题 2.双曲线的性质 双曲线的几何性质及简单运用 A 12题 5分 3题 5分 8题 5分 填空题 分析解读 双曲线作为一种重要的圆锥曲线 ,考查的频度比较高 ,试题难度一般中等偏下 ,复习时不要过度挖掘 . 五年高考 考点一 双曲线的定义和标准方程 1.(2017课标 全国 理改编 ,5,5分 )已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭
2、圆+ =1 有公共焦点 ,则 C 的方程为 . 答案 - =1 2.(2017天津文改编 ,5,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线上 ,OAF 是边长为 2的等边三角形 (O为原点 ),则双曲线的方程为 . 答案 x2- =1 3.(2017天津理改编 ,5,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 .若经过 F和 P(0,4)两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线 ,则双曲线的方程为 . 答案 - =1 4.(2015天津改编 ,6,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点 (2, ),且双曲线的一个焦点
3、在抛物线 y2=4 x的准线上 ,则双曲线的方程为 . 答案 - =1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2015广东改编 ,7,5分 )已知双曲线 C: - =1的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C的方程为 . 答案 - =1 6.(2014天津改编 ,5,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l上 ,则双曲线的方程为 . 答案 - =1 教师用书专用 (7 8) 7.(2013广东理改编 ,7,5分 )已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C的方程是 . 答
4、案 - =1 8.(2014福建 ,19,13分 )已知双曲线 E: - =1(a0,b0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E的离心率 ; (2)如图 ,O为坐标原点 ,动直线 l分别交直线 l1,l2于 A,B 两点 (A,B分别在第一、四象限 ),且 OAB 的面积恒为8.试探究 :是否存在总与直线 l有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在 ,求出双曲线 E的方程 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 (1)因为双曲线 E的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以 =2, 所以 =2, 故 c= a, 从而双曲线 E的离心率 e= = . =【 ;精品教
5、育资源文库 】 = (2)解法一 :由 (1)知 ,双曲线 E的方程为 - =1. 设直线 l与 x轴相交于点 C. 当 lx 轴时 ,若直线 l与双曲线 E有且只有一个公共点 , 则 |OC|=a,|AB|=4a, 又因为 OAB 的面积为 8, 所以 |OC|AB|=8, 因 此 a4a=8, 解得 a=2, 此时双曲线 E的方程为 - =1. 若存在满足条件的双曲线 E,则 E的方程只能为 - =1. 以下证明 :当直线 l不与 x轴垂直时 ,双曲线 E: - =1也满足条件 . 设直线 l的方程为 y=kx+m,依题意 ,得 k2或 k2或 k0, 所以 x1x2= , 又因为 OAB
6、 的面积为 8, 所以 |OA|OB|sinAOB=8, 又易知 sinA OB= , 所以 =8,化简得 x1x2=4. 所以 =4,即 m2=4(k2-4). =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)得双曲线 E的方程为 - =1, 由 得 (4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0, 因为 4-k21,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是 . 答案 (1, ) 3.(2017课标全国 理改编 ,9,5分 )若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆 (x-2)2+y2=4所截得的弦长为 2,则 C的离心率为 . 答案 2 4.(2016江苏 ,3,5分 )在平面直
7、角坐标系 xOy中 ,双曲线 - =1的焦距是 . 答案 2 5.(2016北京 ,12,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为 ( ,0),则a= ;b= . 答案 1;2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.(2016 浙江 ,13,4 分 )设双曲线 x2- =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上 ,且 F 1PF2为锐角三角形 ,则 |PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8) 7.(2016山东 ,14,5分 )已知双曲线 E: - =1(a0,b0).矩形 ABCD的四个顶点在 E上 ,AB,CD的中点
8、为 E的两个焦点 ,且 2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 . 答案 2 8.(2015江苏 ,12,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,P为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点 .若点 P到直线 x-y+1=0的距离大于 c恒成立 ,则实数 c的最大值为 . 答案 9.(2015课标 改编 ,5,5分 )已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点 ,F1,F2是 C的两个焦点 .若 0)的一个焦点 ,则点 F到 C的一条渐近线的距离为 . 答案 11.(2014浙江 ,16,5分 )设直线 x-3y+m=0(m0) 与双 曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分
9、别交于点 A,B.若点P(m,0)满足 |PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 12.(2013课标全国 理改编 ,4,5分 )已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则 C的渐近线方程为 . 答案 y= x 13.(2014江西 ,20,13分 )如图 ,已知双曲线 C: -y2=1(a0)的右焦点为 F,点 A,B分别在 C的两条渐近线上 ,AFx 轴 ,ABOB,BFOA(O 为坐标原点 ). (1)求双曲线 C的方程 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)过 C上 一点 P(x0,y0)(y00) 的直线 l: -y0y=1与直线 AF相交于点 M,与直
10、线 x= 相交于点 N. 证明 :当点 P在 C上移动时 , 恒为定值 ,并求此定值 . 解析 (1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= , 直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF的方程为 y= (x-c),解得 B . 又直线 OA的方程为 y= x,则 A ,kAB= = .又因为 ABOB, 所以 =-1,解得 a2=3, 故双曲线 C的方程为 -y2=1. (2)由 (1)知 a= ,则直线 l的方程为 -y0y=1(y00), 即 y= . 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l与 AF的交点为 M ; 直线 l与直线 x= 的交点为 N , 则 = = = .
11、 因为 P(x0,y0)是 C上一点 ,则 - =1,代入上式得 = = = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所求定值为 = = . 教师用书专用 (14 23) 14.(2016天津理改编 ,6,5分 )已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心 ,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D四点 ,四边形 ABCD的面积为 2b,则双曲线的方程为 . 答案 - =1 15.(2016课标 全国 理改编 ,11,5分 )已知 F1,F2是双曲线 E: - =1的左 ,右焦点 ,点 M在 E上 ,MF1与 x轴垂直 ,sinMF 2F1= ,则 E的离心率为 .
12、 答案 16.(2016浙江理改编 ,7,5分 )已知椭圆 C1: +y2=1(m1)与双曲线 C2: -y2=1(n0)的焦点重合 ,e1,e2分别为C1,C2的离心率 ,则 e1e2与 1的大小关系为 . 答案 e1e21 17.(2015课标 改编 ,11,5 分 )已知 A,B为双曲线 E的左 ,右顶点 ,点 M在 E上 ,ABM 为等腰三角形 ,且顶角为120, 则 E的离心率为 . 答案 18.(2015重庆改编 ,10,5分 )设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F作 AF的垂线与双曲线交于 B,C两点 ,过 B,C分别作 AC,AB的垂线 ,两垂线
13、交于点 D.若 D到直线 BC 的距离小于 a+ ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 . 答案 (-1,0)(0,1) 19.(2015浙江 ,9,6分 )双曲线 -y2=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 答案 2 ;y= x 20.(2015山东 ,15,5分 )平面直角坐标系 xOy中 ,双曲线 C1: - =1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交于点 O,A,B.若 OAB 的垂心为 C2的焦点 ,则 C1的离心率为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 21.(2015湖南 ,13,5分 )设 F是双曲线 C: - =1的一个焦点 .若 C上存在点 P,使
14、线段 PF的中点恰为其虚轴的一个端点 ,则 C的离心率为 . 答案 22.(2014大纲全国改编 ,9,5 分 )已知双曲线 C的离心率为 2,焦点为 F1、 F2,点 A在 C 上 .若 |F1A|=2|F2A|,则cosAF 2F1= . 答案 23.(2013山东理改编 ,11,5 分 )抛物线 C1:y= x2(p0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M处的切线平行于 C2的一条渐近线 ,则 p= . 答案 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 双曲线的定义和标准方程 1.(苏教选 2 1,二 ,3,8,变
15、式 )设椭圆 C1的离心率为 ,焦点在 x轴上且长轴长为 26,若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2的标准方程为 . 答案 - =1 2.(2017江苏前黄中学月考 )若双曲线 - =1上的一点 P到它的右焦点的距离为 8,则点 P到它的左焦点的距离是 . 答案 4或 12 3.(2016江苏南通一模 ,7)在平面直角坐标系 xOy中 ,已知双曲线 - =1(a0,b0)过点 P(1,1),其一条渐近线方程为 y= x,则该双曲线的方程为 . 答案 2x2-y2=1 考点二 双曲线的性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(2018江苏姜堰中学高
16、三期中 )双曲线 x2-y2=1 的离心率为 . 答案 5.(2018江苏前黄中学等五校检测 )直线 x-y=0为双曲线 x2- =1(b0)的一条渐近线 ,则 b的值为 . 答案 6.(2018江苏南通中学高三阶段检测 )等轴双曲线 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,C与抛物线 y2=16x的准线交于 A、 B两点 ,AB=4 ,则双曲线 C的实轴长为 . 答案 4 7.(2017江苏泰州中学模拟 ,5)若双曲线 x2- =1的焦点到渐近线的距离为 2 ,则实数 k的值是 . 答案 8 8.(2017江苏南京学情调研 ,8)在平面直角坐标系 xOy中 ,双曲线 C: - =1(a0)的一条渐近线与直线 y=2x+1平行 ,则实数 a的值是 . 答案 1 9.(2017江苏南京 ,盐城一模 ,7)设双曲线 -y2=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为 30, 则该双曲线的离心率为 . 答案 10.(2017江苏南京师范大学附中期中 ,8)若双曲线 - =1 的一条渐近线经过点 (3,-4),则此双曲线的离心率为 . 答案 B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :20分 时间 :10分钟 )
