1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十五）直线与圆锥曲线 练基础小题 强化运算能力 1已知双曲线 x212y24 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是 _ 解析：由题意知，右焦点为 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y 33 x.当过点 F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是 ? ? 33 ， 33 . 答案： ? ? 33 ， 33 2 (2018 南京模拟 )已知经过点 (0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x22 y2 1 有两个不同的交点
2、P 和 Q，则 k 的取值范围是 _ 解析：由题意得，直线 l 的方程为 y kx 2，代入椭圆方程得 x22 (kx 2)2 1，整理得 ? ?12 k2 x2 2 2kx 1 0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k24? ?12 k2 4k2 2 0，解得 k 22 或 k 22 ，即 k 的取值范围为 ? ? ， 22 ?22 ， . 答案： ? ? ， 22 ? ?22 ， 3斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 _ 解析：设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，直线 l
3、的方程为 y x t，由? x24 y2 1，y x t消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0.则 x1 x2 85t， x1x2 4?t2 1?5 . |AB| 1 k2 |x1 x2| 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 4?t2 1?5 4 25 5 t2，故当 t 0 时， |AB|max4 105 . 答案： 4 105 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)， F( 2， 0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 _ 解析：由题意得? c
4、2，b2a 1，a2 b2 c2，解得 ? a 2，b 2， 故椭圆 C 的方程为x24y22 1. 答案： x24y22 1 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1 (2018 苏州模拟 )椭圆 ax2 by2 1 与直线 y 1 x 交于 A， B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 32 ，则 ab _. 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点 M(x0， y0)，结合题意，由点差法得， y2 y1x2 x1 ab x1 x2y1 y2 ab x0y0 ab 23 1，所以 ab 32 . 答案： 32 2 (2018 启东中学期末 )经过椭圆 x2
5、2 y2 1 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l，交椭圆于 A， B 两点设 O 为坐标原点，则 OA OB 等于 _ 解析：依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点 (1,0)时，其方程为 y 0 tan 45( x 1)，即 y x 1，代入椭圆方程 x22 y2 1 并整理得 3x2 4x 0，解得 x 0 或 x 43，所以两个交点坐标分别为 (0， 1)， ? ?43， 13 ， OA OB 13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 OA OB 13. 答案： 13 3已知抛物线 y2 2px 的焦点 F 与椭圆 16x2 25y2 400 的左焦点重合，抛物线的准线与 x
6、轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 |AK| 2|AF|，则点 A 的横坐标为 _ 解析： 16x2 25y2 400 可化为 x225y216 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则椭圆的左焦点为 F( 3,0)， 又抛物线 y2 2px 的焦点为 ? ?p2， 0 ，准线为 x p2， 所以 p2 3，即 p 6，即 y2 12x， K(3,0) 设 A(x， y)，则由 |AK| 2|AF|得 (x 3)2 y2 2(x 3)2 y2，即 x2 18x 9 y2 0， 又 y2 12x，所以 x2 6x 9 0，解得 x 3. 答案： 3 4已知抛物线 y2 2px(p 0)，过其
7、焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 两点在抛物线上， ? y21 2px1， y22 2px2， 得 (y1 y2)(y1 y2) 2p(x1 x2)， 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2， y1 y2 4， 又直线的斜率为 1， y1 y2x1 x2 1， 2p 4， p 2， 抛物线的准线方程为 x p2 1. 答案： x 1 5抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l，垂
8、足为 K，则 AKF 的面积是 _ 解析： y2 4x， F(1,0)，准线 l： x 1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1： y 3(x 1)，与 y2 4x 联立，解得 A(3,2 3)， AK 4， S AKF 1242 3 4 3. 答案： 4 3 6若椭圆 x2a2y2b2 1 的焦点在 x 轴上，过点 ?1， 12 作圆 x2 y2 1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆的方程是 _ 解析：由题可设斜率存在的切线的方程为 y 12 k(x 1)(k 为切线的斜率 )，即 2kx2y 2k 1 0，由 | 2k 1|4k2 4 1，解得
9、 k 34，所以圆 x2 y2 1 的一条切线的方程为 3x 4y 5 0，可求得切点的坐标为 ? ?35， 45 ，易知另一切点的坐标为 (1,0)，则直线 AB 的方程=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 y 2x 2，令 y 0 得右 焦点为 (1,0)，令 x 0 得上顶点为 (0,2)，故 a2 b2 c2 5，所以所求椭圆的方程为 x25y24 1. 答案： x25y24 1 7设双曲线 x29y216 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为 _ 解析： c 5，设过点 F 平行于一条渐近线的直线方程为 y
10、 43(x 5)，即 4x 3y 20 0，联立直线与双曲线方程，求得 yB 3215，则 S 12(5 3) 3215 3215. 答案： 3215 8在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0， c)任作一条直线，与抛物线 y x2相交于 A， B 两点，若 OA OB 2，则 c 的值为 _ 解析：设过点 C 的直线为 y kx c(c 0)，代入 y x2得 x2 kx c，即 x2 kx c 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 k， x1x2 c， OA (x1， y1)， OB (x2， y2)，因为 OA OB 2，所以 x1x2
11、y1y2 2，即 x1x2 (kx1 c)(kx2 c) 2，即 x1x2 k2x1x2 kc(x1 x2) c2 2，所以 c k2c kc k c2 2，即 c2 c 2 0，所以 c 2 或 c 1(舍去 ) 答案： 2 9 (2018 徐州中学模拟 )中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y 3x2 所得弦中点的横坐标为 12，则该椭圆方程为 _ 解析：由已知得 c 5 2，设椭圆的方程为 x2a2 50y2a2 1，联立得 ? x2a2 50y2a2 1，y 3x 2消去 y 得 (10a2 450)x2 12(a2 50)x 4(a2 50) a2(a2 50)
12、0，设直线 y 3x 2 与椭圆的交点坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，由根与系数关系得 x1 x2 12?a2 50?10a2 450，由题意知x1 x2 1，即 12?a2 50?10a2 450 1，解得 a2 75，所以该椭圆方程为 y275x225 1. 答案： y275x225 1 10 已知抛物线 C： y2 8x 与点 M( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，=【 ;精品教育资源文库 】 = B 两点若 MA MB 0，则 k _. 解析：如图所示，设 F 为焦点，易知 F(2， 0)，取 AB 的中点 P，过 A， B 分别作准线的
13、垂线，垂足分别为 G， H，连结 MF， MP，由 MA MB 0，知 MA MB，则 |MP| 12|AB| 12(|AF| |BF|) 12(|AG| |BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线，所以 MP AG BH，由 |MP| |AP|，得 GAM AMP MAP，又 |AG| |AF|， AM 为公共边，所以 AMG AMF，所以 AFM AGM 90 ，则 MF AB，所以 k 1kMF 2. 答案： 2 二、解答题 11 (2017 江苏高考 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的 左、右焦点分别为 F1， F2，离心
14、率为 12，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 l1， l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标 解： (1)设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 12，两准线之间的距离为 8， 所以 ca 12， 2a2c 8， 解得 a 2， c 1，于是 b a2 c2 3， 因此椭圆 E 的标准方程是 x24y23 1. (2)由 (1)知， F1( 1,0)， F2(1,0) 设 P(x0， y0)，因为 P 为第一象限的点， 故
15、 x0 0， y0 0. 当 x0 1 时， l2与 l1相交于 F1，与题设不符 当 x01 时，直线 PF1的斜率为 y0x0 1，直线 PF2的斜率为 y0x0 1. 因为 l1 PF1， l2 PF2，所以直线 l1的斜率为 x0 1y0，直线 l2的斜率为 x0 1y0， 从而直线 l1的方程为 y x0 1y0(x 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 l2的方程为 y x0 1y0(x 1) 由 ，解得 x x0， y x20 1y0 ， 所以 Q? ? x0，x20 1y0 . 因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得 x20 1y0 y0， 即 x20 y20 1 或 x20 y20 1. 又点 P 在椭圆 E 上，故 x204y203 1. 联立? x20 y20 1，x204y203 1，解得? x0 4 77 ，y0 3 77 ；联立? x20 y20 1，x204y203 1，无
