1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (十二） 函数与方程 练基础小题 强化运算能力 1已知函数 f(x) 6x log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是 _ (填序号 ) (0,1)； (1,2)； (2,4)； (4， ) 解析：因为 f(1) 6 log21 6 0， f(2) 3 log22 2 0， f(4) 32 log24 12 0，所以函数 f(x)的零点所在区间为 (2,4) 答案： 2已知函数 f(x) ? ?12 x cos x，则 f(x)在 0,2 上的零点个数为 _ 解析：令 F(x) ? ?12 x， G(x) cos x，它们在同一坐标系下
2、在区间 0,2 上的图象如图，由两函数的交点知 f(x)在区间 0,2 上的零点个数为 3. 答案： 3 3已知函数 f(x)? |x|， x m，x2 2mx 4m， x m， 其中 m 0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _ 解析：作出 f(x)的图象如图所示当 x m 时， x2 2mx 4m (xm)2 4m m2， 要使方程 f(x) b 有三个不同的根，则 4m m2 m，即m2 3m 0.又 m 0，解得 m 3. 答案： (3， ) 4函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 的取值范围
3、是 _ 解析：因为 f(x)在 (0， ) 上是增函数，则由题意得 f(1) f(2) (0 a)(3 a) 0，解得 0 a 3. 答案： (0,3) 5 (2018 天津六校联考 )已知函数 y f(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 74 24.5 36.7 123.6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 则函数 y f(x)在区间 1,6上的零点至少有 _个 解析：依题意知 f(2) 0， f(3) 0， f(4) 0， f(5) 0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间 (2,3)， (3,4)， (4,5)内均至少含有一个零点，
4、故函数 y f(x)在区间 1,6上的零点至少有 3 个 答案： 3 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1设 a 是方程 2ln x 3 x 的解，则 a 在的区间是 _ (填序号 ) (0,1)； (3,4)； (2,3)； (1,2) 解析：令 f(x) 2ln x 3 x，则函数 f(x)的零点即原方程的解，显然函数 f(x)在 (0， ) 上递增，且 f(1) 2 0， f(2) 2ln 2 1 ln 4 1 0，所以函数 f(x)在 (1,2)上有零点，即 a 在区间 (1,2)内 答案： 2 (2017 南京二 模 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x (0， )
5、 时， f(x) 2 018x log2 018x，则函数 f(x)的零点个数是 _ 解析：作出函数 y 2 018x和 y log2 018x 的图象如图所示，可知函数 f(x) 2 018x log2 018x 在 x (0， ) 上存在一个零点，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)在 x ( ， 0)上有且仅有一个零点，又 f(0) 0， 函数 f(x)的零点个数是 3. 答案： 3 3若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)，且当 x 0,1时， f(x) x，则函数 y f(x) log3|x|的零点有 _个 解析：因为偶函数 f(x)满足 f(x
6、2) f(x)，故函数的周期为 2.当 x 0,1时， f(x) x，故当 x 1,0时， f(x) x.在同一个坐标系中画出函数 y f(x)的图象与 函数 y log3|x|的图象，如图所示显然函数 y f(x)的图象与函数 y log3|x|的图象有 4 个交点，则函数 y f(x) log3|x|的零点有 4 个 答案： 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知函数 f(x)? 2 |x|， x2 ，x 2， x 2， 函数 g(x) 3 f(2 x)，则函数 y f(x) g(x)的零点个数为 _ 解 析 ： 由 已 知 条 件 得 g(x) 3 f(2 x) ? |x 2| 1
7、， x0 ，3 x2， x 0， 分别画出函数 y f(x)， y g(x)的草图，观察发现有 2 个交点，则函数 y f(x) g(x)有 2 个零点 答案： 2 5 (2018 如皋四校联考 )函数 f(x)? 2x 1， x0 ，f x ， x 0， 若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：函数 f(x)? 2x 1， x0 ，f x ， x 0 的图象如图所示，作出直线 l： y a x，向左平移直线 l，观察可得当函数 y f(x)的图象与直线 l： y x a 的图象有两个交点，即当方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根
8、时，有 a 1. 答案： ( ， 1) 6 (2018 湖南衡阳模拟 )函数 f(x)的定义域为 1,1，图象如图 1 所示，函数 g(x)的定义域为 2,2，图象如图 2 所示，方程 f(g(x) 0 有 m 个实数根，方程 g(f(x) 0有 n 个实数根，则 m n _. 解析：由题图可知，若 f(g(x) 0，则 g(x) 1 或 g(x) 0 或 g(x) 1.由题图 2 知，g(x) 1 时， x 1 或 x 1； g(x) 0 时， x 的值有 3 个； g(x) 1 时， x 2 或 x 2，故 m 7.若 g(f(x) 0，则 f(x) 32或 f(x) 32或 f(x) 0
9、.由题图 1知，使 f(x) 32与 f(x) 32的 x 取值各有 2 个； f(x) 0 时， x 1 或 x 1 或 x 0，故 n 7.由此可得 m n14. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 14 7若 f(x)? x2 x 1， x2 或 x 1，1， 1 x 2， 则函数 g(x) f(x) x 的零点为 _ 解析：要求函数 g(x) f(x) x 的零点，即求 f(x) x 的根， ? x2 或 x 1，x2 x 1 x 或? 1 x 2，1 x. 解得 x 1 2或 x 1. g(x)的零点为 1 2， 1. 答案： 1 2， 1 8 (2018 河北衡水二中检测 )
10、已知函数 f(x)? 0， x0 ，2x， x 0， 则使函数 g(x) f(x)x m 有零点的实数 m 的取值范围是 _ 解析：函数 g(x) f(x) x m 的零点就是方程 f(x) x m 的根，作出 h(x)? x， x0 ，2x x， x 0 的图象，如图所示，观察它与直线 y m 的交点，得知当 m0 或 m 1 时有交点，即函数 g(x) f(x) x m 有零点的实数 m 的取值范围是 ( ， 0 (1， ) 答案： ( ， 0 (1， ) 9 (2018 湖北优质高中联考 )函数 f(x) ? ?12 |x 1| 2cos x( 4 x6) 的所有零点之和为 _ 解析：题
11、设可转化为两个函数 y ? ?12 |x 1|与 y 2cos x 在 4,6上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于 x 1 对称，所以两个函数在 x 1 两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x 1 两侧分别有 5 个交点，所以 f(x)的所有零点之和为 52 10. 答案： 10 10 (2017 南通、泰州、扬州三模 )已知函数 f(x)? x， x a，x3 3x， x a. 若函数 g(x)2f(x) ax 恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：由题知 g(x)? a x， x a，2x3 a x， x a， =
12、【 ;精品教育资源文库 】 = 显然，当 a 2 时， g(x)有无穷多个零点，不符合题意； 当 x a 时，令 g(x) 0，得 x 0， 当 x a 时，令 g(x) 0，得 x 0 或 x2 6 a2 ， 若 a 0 且 a2 ，则 g(x)在 a， ) 上无零点，在 ( ， a)上存在零点 x 0 和 x 6 a2 ， 所以 6 a2 a，解得 0 a 2； 若 a 0，则 g(x)在 0， ) 上存在零点 x 0，在 ( ， 0)上存在零点 x 62，符合题意； 若 a 0，则 g(x)在 a， ) 上存在零点 x 0， 所以 g(x)在 ( ， a)上只有 1 个零点，因为 0 /
13、( ， a)，所以 g(x)在 ( ，a)上的零点为 x 6 a2 ， 所以 6 a2 a，解得 32 a 0. 综上，实数 a 的取值范围是 ? ? 32， 2 . 答案： ? ? 32， 2 二、解答题 11关于 x 的二次方程 x2 (m 1)x 1 0 在区间 0,2上有解，求实数 m 的取值范围 解：设 f(x) x2 (m 1)x 1， x 0,2， 若 f(x) 0 在区间 0,2上有一解， f(0) 1 0， f(2)0. 又 f(2) 22 (m 1)2 1， m 32.而当 m 32时， f(x) 0 在 0,2上有两解 12和 2， m 32. 若 f(x) 0 在区间
14、0,2上有两解， 则? 0，0 m 12 2，f 0 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = ? m 2 40 ， 3 m 1，4 m 10.? m3 或 m 1， 3 m 1，m 32. 32 m 1. 由 可知实数 m 的取值范围是 ( ， 1 12已知 y f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x 0， ) 时， f(x) x2 2x. (1)写出函数 y f(x)的解析式 (2)若方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，求 a 的取值范围 解： (1)设 x 0，则 x 0， f( x) x2 2x. 又 f(x)是奇函数， f(x) f( x) x2 2x. f(x)? x2 2x， x0 ， x2 2x， x 0. (2)方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，即 y f(x)与 y a 的图象有 3 个不同的交点， 作出 y f(x)与 y a 的图象如图所示， 故若方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，只需 1 a 1， 故 a 的取值范围为 ( 1,1)
