1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断与运用 B 9题 5分 10题 5分 填空题 解答题 2.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判断与运用 B 17 题 14 分 填空题 解答题 分析解读 直线与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容 ,无论是填空题还是解答题都是中等难度 ,着重考查直线与圆相 切或相交的情况 . 五年高考 考点一 直线与圆的位置关系 1.(2016课标全国 改编 ,6,5分 )圆
2、 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a= . 答案 - 2.(2016课标全国 ,15,5 分 )设直线 y=x+2a与圆 C:x2+y2-2ay-2=0相交于 A,B两点 ,若 |AB|=2 ,则圆 C的面积为 . 答案 4 3.(2016课标全国 理 ,16,5 分 )已知直线 l:mx+y+3m- =0与圆 x2+y2=12交于 A,B两点 ,过 A,B分别作 l的 垂线与 x轴交于 C,D两点 .若 |AB|=2 ,则 |CD|= . 答案 4 4.(2015江苏 ,10,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,以点 (1,0)为圆心且与直
3、线 mx-y-2m-1=0(mR) 相切的所有圆中 ,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y2=2 5.(2015四川改编 ,10,5分 )设直线 l与抛物线 y2=4x相交于 A,B两点 ,与圆 (x-5)2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M为线段 AB的中点 .若这样的直线 l恰有 4条 ,则 r的取值范围是 . 答案 (2,4) 6.(2015湖北 ,14,5分 )如图 ,圆 C与 x轴相切于点 T(1,0),与 y轴正半轴交于两点 A,B(B在 A的上方 ),且|AB|=2. (1)圆 C的 方程为 ; (2)过点 A任作一条直线与圆 O:x2+y2=1 相交于 M
4、,N两点 ,下列三个结论 : =【 ;精品教育资源文库 】 = = ; - =2; + =2 . 其中正确结论的序号是 .(写出所 有正确结论的序号 ) 答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2) 7.(2014江苏 ,9,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,直线 x+2y-3=0被圆 (x-2)2+(y+1)2=4 截 得的弦长为 . 答案 8.(2014湖北 ,12,5分 )直线 l1:y=x+a和 l2:y=x+b将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧 ,则a2+b2= . 答案 2 9.(2014江西改编 ,9,5分 )在平面直角坐标系中 ,A,B分别是 x轴和
5、y轴上的动点 ,若以 AB为直径的圆 C与直线2x+y-4=0相切 ,则圆 C面积的最小值为 . 答案 10.(2014课标 ,16,5 分 )设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1上存在点 N,使得 OMN=45, 则 x0的取值范围是 . 答案 -1,1 11.(2017课标全国 文 ,20,12分 )在直角坐标系 xOy中 ,曲线 y=x2+mx-2与 x轴交于 A,B两点 ,点 C的坐标为(0,1).当 m变化时 ,解答下列问题 : (1)能否出现 ACBC 的情况 ?说明理由 ; (2)证明过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值 . 解析 (1)不能出现 ACBC
6、 的情况 ,理由如下 : 设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2. 又 C的坐标为 (0,1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 =- ,所以不能出现 ACBC 的情况 . (2)BC的中点坐标为 ,可得 BC的中垂线方程为 y- =x2 . 由 (1)可得 x1+x2=-m,所以 AB 的中垂线方程为 x=- . 联立 又 +mx2-2=0,可得 所以过 A,B,C三点的圆的圆心坐标为 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 半径 r= . 故圆在 y轴上截得的弦长为 2 =3,即过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值
7、. 12.(2015广东 ,20,14分 )已知过原点的动直线 l与圆 C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆心坐标 ; (2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C的方程 ; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C只有一个交点 ?若存在 ,求出 k的取值范围 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 (1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0可化为 (x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为 (3,0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x 2),M(x0,y0), 则 x0= ,y0= . 由题意可知直线 l的斜率必存在
8、 ,设直线 l的方程为 y=tx. 将上述方程代入圆 C1的方程 ,化简得 (1+t2)x2-6x+5=0. 由题意 ,可得 =36 -20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以 x0= ,代入直线 l的方程 ,得 y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 由 (*)解得 t20)及圆上的点 A(0,-r),过点 A的直线 l交圆于另一点 B,交 x轴于点 C,若 OC=BC,则直线的斜率为 . 答案 3.(2017江苏南通、扬州、泰州三模 ,13)在平面直角坐标系 xOy中 ,已知点 A(0,-2),点 B(1,-1),P为圆 x2+y2=2上一动点 ,则 的
9、最大值是 . 答案 2 二、解答题 (共 30分 ) 4.(2018江苏海安高级中学阶段测试 )已知圆 O:x2+y2=4 与 x轴负半轴的交 点为 A,点 P在直线 l: x+y-a=0 上 ,过点 P作圆 O的切线 ,切点为 T. (1)若 a=8,切点 T( ,-1),求直线 AP 的方程 ; (2)若 PA=2PT,求实数 a的取值范围 . 解析 (1)易知 A(-2,0).由题意 ,得直线 PT切圆 O于点 T,则 OTPT, 又切点 T的坐标为 ( ,-1), 所以 kOT=- ,kPT=- = , 故直线 PT的方程为 y+1= (x- ),即 x-y-4=0. 由 解得 即 P
10、(2 ,2), 易知 A(-2,0), 所以直线 AP 的斜率 k= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 故直线 AP的方程为 y= (x+2), 即 x-( +1)y+2=0. (2)设 P(x,y),由 PA=2PT,可得 (x+2)2+y2=4(x2+y2-4), 即 3x2+3y2-4x-20=0, 满足 PA=2PT的点 P的轨迹是一个圆 ,且方程为 +y2= , 因为点 P在直线 l: x+y-a=0 上 , 所以圆心 到直线 l的距离 d= ,即 , 解得 a . 5.(2017江苏扬州期中 ,17)已知圆 M:x2+y2-2x+a=0. (1)若 a=-8,过点 P(4,
11、5)作圆 M的切线 ,求该切线方程 ; (2)若 AB为圆 M的任意一条直径 ,且 =-6(其中 O为坐标原点 ),求圆 M的半径 . 解析 (1)若 a=-8,则圆 M:(x-1)2+y2=9,圆心 M(1,0),半径为 3. 若切线斜率不存在 ,圆心 M到直线 x=4的距离为 3,所以直线 x=4为圆 M的一条切线 ; 若切线斜率存在 ,设切线方程为 y-5=k(x-4),化简为 kx-y-4k+5=0,则圆心到直线的距离 d= =3,解得 :k= . 所以切线方程为 x=4或 8x-15y+43=0. (2)圆 M的方程可化为 (x-1)2+y2=1-a, 圆心 M(1,0),圆的半径
12、r= (a0, 所以无论 k为何实数 ,直线 l和圆 C总有两个交点 . (2)设直线与圆交于 A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点 , 则直线 l被圆 C截得的弦长 AB= |x1-x2| =2 =2 , 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 当 t=0时 ,k=- ,当 t0 时 ,因为 kR, 所以 =16 -4t(t-3)0, 解 得 -1t4, 且 t0, 故 t= 的最大值为 4,此时 AB 最小 ,最小值为 2 . 即直线 l被圆 C截得的最短弦长为 2 . 4.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0及圆 (x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点 M的圆
13、的切线方程 ; (2)若直线 ax-y+4=0与圆相切 ,求 a的值 ; (3)若直线 ax-y+4=0与圆相交于 A,B两点 ,且弦 AB的长为 2 ,求 a的值 . 解析 (1)由题知圆心为 (1,2),半径 r=2, 当过点 M的直线的斜率不存在时 ,方程为 x=3. 由圆心 (1,2)到直线 x=3的距离 d=3-1=2=r知 ,直线 x=3 与圆相切 . 当过点 M的直线的斜率存在时 ,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. 由题意知 =2,解 得 k= . 方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故过 M点的
14、圆的切线方程为 x=3或 3x-4y-5=0. (2)由题意有 =2,解得 a=0或 a= . (3) 圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 , + =4,解得 a=- . D组 2016 2018 年模拟 突破题组 1.(2017南通第三次调研考试 )在平面直角坐标系 xOy中 ,圆 C1:(x-1)2+y2=2,圆 C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆 C2上存在一点 P满足 :过点 P向圆 C1作两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,ABP 的面积为 1,则正数 m的取值范围是 . 答案 1,3+2 2.(2018江苏如东高级中学检测 )已知圆 O:x2+y2=4. (1)
15、直线 l1: x+y-2 =0 与圆 O相交于 A,B两点 ,求弦 AB 的长度 ; (2)如图 ,设 M(x1,y1),P(x2,y2)是圆 O上的两个动点 ,点 M关于原点的对称点为 M1,点 M 关于 x轴的对称点为 M2,如果直线 PM1,PM2与 y轴分别交于 (0,m)和 (0,n),问 mn 是否为定值 ?若是 ,求出该定值 ;若不是 ,请说明理由 . 解析 (1)由于圆心 (0,0)到直线 l1: x+y-2 =0的距离 d= = ,圆的半径 r=2, 所以 |AB|=2 =2. (2)由于 M(x1,y1),P(x2,y2)是圆 O上的两个动点 ,M,M1关于原点对称 ,M,M2关于 x轴对称 ,则 M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1),且 + =4, + =4. 直线 PM1的方程为 = , 令 x=0,得 y=m= . 直线 PM2的方程为 = , 令 x=0,得 y=n= .
