1、 22.2 坐标系与参数方程 高考数学 1.极坐标系 (1)在平面上取一个定点 O,由 O点出发的一条射线 Ox,一个长度单位、 一个角度单位及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向 ),这样就建立了 一个极坐标系 .O点称为极点 ,Ox轴称为极轴 .平面上任一点 M的位置可 以由线段 OM的长度 和从 Ox到 OM的角度 来刻画 (如图所示 ).这两个 数组成的有序数对 (,)称为点 M的极坐标 ,称为极径 ,称为极角 . 知识清单 (2)极坐标与直角坐标的转化 设 M为平面上任意一点 ,它的直角坐标为 (x,y),极坐标为 (,).由图可知 下面的关系式成立 : 或 顺便指出 ,上式对 0也
2、成立 . x,ycossin?2 2 2 ,( 0) . xyytan xx? ? ?这就是极坐标与直角坐标的互化公式 . (3)圆的极坐标方程 a.圆心在极点 ,半径为 R的圆的极坐标方程为 =R. b.圆心在极轴上的点 (a,0)处 ,且圆过极点 O的圆的极坐标方程为 =2acos . c.圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为 =2asin . 注 :当圆心 M(x0,y0)不在直角坐标系的坐标轴上时 ,要建立圆的极坐标方 程 ,通常把极点放置在圆心处 ,极轴与 x轴正半轴同向 ,然后运用极坐标与 直角坐标的变换公式求解 . 或 a,2?00x,yx co sy sin?2 2 2000
3、0( ) ( ) ,. x x y yyytanxx? ? ? ? ? ? ?2.参数方程 (1)直线的参数方程 过点 (x0,y0)且倾斜角为 的直线的参数方程为 (t为参数 ). (2)圆的参数方程 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为 (为 参数 ). (3)椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点 ,而在点 M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为 (为参数 ). 00x,yx tc osy tsin?00x,yx R c o sy R s in? 00x,yx ac osy bsin?通常规定参数 的范围为 0,2). 解决参数方程与极坐标方程问题的方法 极坐标
4、方程往往要与普通方程进行相互转化 ,在转化时 ,以直角坐标系 的原点 O为极点 ,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ,且在两坐标系中 取相同的长度单位 . 参数方程化为普通方程的常见方法有三种 :代入法 :利用解方程的技 巧表示出参数 ,然后代入消去参数 .三角法 :利用三角恒等式消去参数 . 整体消元法 :根据参数方程本身的结构特征 ,从整体上消去 .化参数方 程为普通方程 .在消参过程中 ,注意变量 x、 y取值范围的一致性 . 例 1 (2017江苏南通中学期中 )已知曲线 C的极坐标方程为 =2cos ,直 线 l的极坐标方程为 sin =m.若直线 l与曲线 C有且只有一个公共 点
5、,求实数 m的值 . 6?方法技巧 方法 解析 曲线 C的极坐标方程为 =2cos ,化为直角坐标方程为 x2+y2=2x, 即 (x-1)2+y2=1, 表示以 (1,0)为圆心 ,1为半径的圆 . 直线 l的极坐标方程是 sin =m,即 cos + sin =m,化为直角 坐标方程为 x+ y-2m=0. 因为直线 l与曲线 C有且只有一个公共点 , 所以 =1,解得 m=- 或 m= . 所以 ,所求实数 m的值为 - 或 . 6?12 32322|1 2m |1 ( 3 )?12 3212 32例 2 (2017江苏南通中学期中 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知曲线 C: (为参
6、数 , R),直线 l: (t为参数 ,t R),求曲线 C 上的动点 P到直线 l的距离的最小值 . x 4 ,y3cossin?2x 3 ,22y32tt? ? ? ?解析 将直线 l的参数方程 化为普通方程为 x-y-6=0. 因为点 P在曲线 C: (为参数 )上 ,所以设 P(4cos ,3sin ). 点 P到直线 l的距离 d= = ,其中 tan = ,是锐角 . 所以当 cos(+)=1时 ,dmin= . 所以点 P到直线 l的距离的最小值为 . 2x 3 ,22y32tt? ? ? ?x 4 ,y3cossin?| 4 3 6 |2c o s sin?| 5 ( ) 6 |2co s ? 342222
