1、A1 1.2 排列排列与与组合组合A2一、一、排列排列与与排列数排列数A3 什么是分类计数原理？什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？应用这两个原理时应注意什么问题？A4?,1,1,231有多少种不同的选法有多少种不同的选法同学参加下午的活动同学参加下午的活动名名另另名同学参加上午的活动名同学参加上午的活动其中其中一项活动一项活动名参加名参加名同学中选出名同学中选出从甲、乙、丙从甲、乙、丙问题问题.,23:少种不同排法求一共有多序排列顺参加下午的活动在后的前按照参加上午的活动在名名同学中选出从甲、乙、丙个问题我们可以这样来分析这排列排列
2、A5.2,2,2;3,13,1:种方法于是有中去选人能从余下的参加下午活动的同学只学确定后当参加上午活动的同学确定参加下午活动的同步第种方法有人人中任选从午活动的同学确定参加上步第步骤解决这一问题可分两个.,623,23,如图种排列的不同方法共有午活动在后的顺序加下参照参加上午活动在前按名名同学中选出在根据分步乘法计数原理上午 下午 相应的排法甲乙甲丙乙甲丙乙甲乙丙丙甲乙丙甲丙乙丙甲乙A6:,于是问题可叙述为象叫做把上面问题中被取的对元元素素?,2c, b, a3少少种种不不同同的的排排列列方方法法一一共共有有多多列列按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一然然后后个个中中任任取取个个不不同同
3、元元素素从从.623,cb,ca,bc,ba,ac,ab种共有所有不同的排列是A7?,3,44, 3 , 2 , 12的的三三位位数数共共可可以以得得到到多多少少个个不不同同一一个个三三位位数数个个排排成成每每次次取取出出个个数数字字中中这这从从问问题题:.,3,4,题三个步骤来解决这个问可以分少个不同的三位数不同的排列方法就有多因此有多少种就得到一个三位数的顺序排成一列位个十百按个每次取出个数字中从显然;4,144, 3 , 2 , 1,1种方法有个取个数字中任这在确定百位上的数字步第;3,3,2种方法有个数字中去取下的十位上的数字只能从余当百位上的数字确定后确定十位上的数字步第A8;2,2
4、,3种方法有中去取个数字下的个位上的数字只能从余字确定后当百位、十位上的数确定个位上的数字步第.,24,24234,3,44 , 3 , 2 , 1,如图个不同的三位数共可得到因而种不同的排法共有排成一列位的顺序个十百按个数字每次取出字中个不同的数这从根据分步乘法计数原理2131322141423141433242433214214314324321A9,432,431,423,421,413,412,342,341,324,321,314,312,243,241,234,231,214,213,143,142,134,132,124,123:数由此可写出所有的三位:2,可归结为可归结为问题问
5、题同样同样?,3d, c, b, a4种不同的排列方法种不同的排列方法共有多少共有多少的顺序排成一列的顺序排成一列然后按照一定然后按照一定个个中取出中取出个不同的元素个不同的元素从从.24234.dcb,dca,dbc,dba,dac,dab,cdb,cda,cbd,cba,cad,cab,bdc,bda,bcd,bca,bad,bac,adc,adb,acd,acb,abd,abc种种共有共有所有不同的排列有所有不同的排列有3141433242434314322121313221414232142143A10?2 , 1们们推推广广到到一一般般情情形形吗吗你你能能将将它它的的共共同同特特点点
6、是是什什么么上上述述问问题题思思考考?征征吗吗你你能能归归纳纳一一下下排排列列的的特特思思考考).tarrangemen(mn,)n(mn,个个元元素素的的一一个个出出个个不不同同元元素素中中取取叫叫做做从从按按照照一一定定顺顺序序排排成成一一列列个个元元素素个个不不同同的的元元素素中中取取出出从从一一般般地地mm排排列列.,132123;,134123,2.,它它们们也也是是不不同同的的排排列列素素的的排排列列顺顺序序不不同同但但元元虽虽然然元元素素完完全全相相同同与与是是不不同同的的排排列列它它们们的的元元素素不不完完全全相相同同与与中中如如在在问问题题例例同同且且元元素素的的排排列列顺顺
7、序序也也相相列列的的元元素素完完全全相相同同当当且且仅仅当当两两个个排排两两个个排排列列相相同同根根据据排排列列的的定定义义A11 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“”；二是“”“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义，当且仅当这两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素按照一定顺序按照一定顺序排成一列，叫做从
8、排成一列，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列. .A12对对“n n取取m m的一个排列的一个排列”的认识：的认识： 1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能个中也不能重复。重复。 2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。个问题是否是排列问题的关键。 3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 4 4、m mn
9、 n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排时的排列叫全排列。列。 5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。A13 .A,mnnmmnmn表表示示用用符符号号个个元元素素的的个个不不同同元元素素中中取取出出不不同同排排列列的的个个数数叫叫做做从从个个元元素素的的所所有有个个不不同同元元素素中中取取出出从从排排列列数数 .tarrangemenA的的第第一一个个字字母母排排列列是是英英文文字字; 623A,A,23, 12323已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题.
10、24234A,A,34, 23434已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题A14?nmA,A?A2nmn3n2n又又各各是是多多少少是是多多少少数数个个元元素素的的排排列列个个不不同同元元素素中中取取出出从从探探究究:A,2.12n考虑可以这样求排列数的经验根据解问题.A,.,;,2a,a,an, )32.1(2nn21是排列数所有不同填法的种数就因此到样一种填法得任一个排列总可以由这过来反排列每一种填法就得到一个填一个元素一个空位个去填空取中任意元素个从图空位假定有排好顺序的两个 位位第第1位位第第2种种n种种1n32.1图图A15;n,1n,1,1种方法有个素中任选个元
11、可以从这个位置的元素填第步第.1n,11n,2,2种方法有个个元素中任选可以从剩下的个位置的元素填第步第.1nnA2 ,2n数为个空位的填法种根据分步乘法计数原理.2n1nnA,3A,3n3n有个空位来考虑可依次填求排列数同理:.事可分为两个步骤完成填空这件填法现在我们计算有多少种A16.,.,:,21mnnmnAmaaanmmA是排列数所有不同填法的种数就因此排列每一种填法就对应一个填一个元素一个空位个去填空中任意取个元素从个空位假定有排好顺序的来考虑个空位可以按依次填求排列数一般地 位位第第1位位第第2位位第第3位位第第m种种n种种1n种种2n种种1mn A17:m个步骤填空可分为;n,n
12、1,1种选法共有个元素中任选一个填上位可以从第步第;1n,1n2,2种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第;2n,2n3,3种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第.1mn,1mnm,1m,m种选法有共个元素中任选一个填上能从余下的位只第个空位都填上后当前面的步第.1mn2n1nnm,种填法个空位共有全部填满根据分步乘法计数原理 A18我我们们就就得得到到公公式式这这样样,.1mn2n1nnAmn .,排列数公式这个公式叫做并且这里nmNmn.678A, 45A.nmmn,3825例例如如素素的的所所有有排排列列的的个个数数个个元元个个不不同同元元素素中中取取出出出出从从
13、我我们们就就能能方方便便地地计计算算根根据据排排列列数数公公式式?式式的的特特点点吗吗你你能能概概括括一一下下排排列列数数公公A19, 1232n1nnA, nm.n,nmn 即即有有这这时时公公式式中中个个元元素素的的一一个个全全排排列列叫叫做做一一个个排排列列个个不不同同元元素素全全部部取取出出的的式可以写成式可以写成不同元素的全排列数公不同元素的全排列数公个个所以所以表示表示用用的的叫做叫做连乘积连乘积的的到到正整数正整数的连乘积的连乘积到到等于正整数等于正整数排列数排列数个不同元素全部取出的个不同元素全部取出的就是说就是说n.! n,n,n1.n1,n,阶乘阶乘! nAnn.1! 0,
14、我我们们规规定定另另外外A201mn2n1nnA,mn 事实上12mn12mn1mn2n1nn .AA!mn! nmnmnnn.!mn! nAmn排列数公式还可以写成因此,A211.1.排列数公式的特点：第一个因数是排列数公式的特点：第一个因数是n, ,后面每一个因数后面每一个因数比它前面一个因数少比它前面一个因数少1,1,最后一个因数是最后一个因数是nm1,1,共有共有m个因数个因数.!) 1).(2)(1(mnnmnnnnAmn, 12321,.,. 2 nnnAnmnnnn即有这时公式中一个全排列个元素的叫做一个排列个不同元素全部取出的从A22例例1.1.下列问题中哪些是排列问题？下列问
15、题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除A23（5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话（6 6）2020位同学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作个点中的某一点为起点，作过另一个点
16、的射线过另一个点的射线（9 9）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（1010）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？A24?,14. 2共进行多少场比赛分别比赛一次、客场每队要与其余各队在主个队参加联赛有组某年全国足球甲级例A.1821314A,.214,11214比赛的总场次是因此元素的一个排列个个元素中任取对应于从客场比赛次次主场比赛与任意两队间进行解A25 ?,1,3352?,1,3351. 3共有多少种不同的送法本人各每名同学本送给种不同的书中买从共有多少种不同的送法本每人各学名同本送给本不同的书中选从例 .603
17、45A,35,335135因此不同送法的种数是一个排列个元素的个不同元素中任取对应于从学名同本送给本不同的书中选出从解 .12555513,51,52本书的不同方法种数是学每人各名同因此送给种不同的选购方法书都有本送给每个同学的种不同的书由于有A26 .算步乘法计数原理进行计只能用分,条件符合使用排列数公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的书,中2而;属于求排列数问题,到的书的书各人得,名同学3本送3不同的书同的书本5是从1:中两两个问题的区别在3例A27?,1090. 4重复数字的三位数可以组成多少个没有个数字这到用例.,.0,0,1090来考虑问题来考虑问题殊元素的排列位置入手殊元素的排
18、列位置入手我们可以从特我们可以从特一般的一般的是一个特殊的元素是一个特殊的元素因此因此数可以排在任意位置上数可以排在任意位置上而其他而其他能排在百位上能排在百位上不不因为因为个数字中个数字中这这到到在本问题的在本问题的分析分析可以从余下排十位和个位上的数字步第种选法有个这九个数字中任选到可以从上的数字百位步第因此可分两步完成排列数字不能是百位上的数中位由于没有重复数字的三解法,2;A,190,1., 0,119A28).(648899,1,29291929个所求的三位数有根据分步乘法原理如图种选法有个个数字中任选的 AAA.648,.0,0,0.3,22292939292939个符合条件的三位
19、数有原理根据分类加法计数个三位数有的十位数字是个的三位数有个位数字是个的三位数有不是每一位数字都类的三位数可分成符合条件所示如图解法AAAAAA百百位位十十位位 个个位位个个19A个个2 29A1图百百位位十十位位个个位位个3 39A百百位位十十位位个个位位个个2 29A0百百位位十十位位个个位位个个2 29A2图0A29.648898910AA,10,A0,A310903293102939是即所求的三位数的个数三位数的个数数字的个数字组成的没有重复的差就是用这它们在在百位上的排列数是其中列数为个数字的排个数字中任取这到从解法;,3,01.,4原理原理依据的是分步乘法计数依据的是分步乘法计数数
20、这件事数这件事的三位的三位个数组成没有重复数字个数组成没有重复数字分步完成选分步完成选要求要求根据百位数字不能是根据百位数字不能是解法解法的解题方法的解题方法就可以有不同就可以有不同而且思考的角度不同而且思考的角度不同题分解题分解可用适当的方法把问可用适当的方法把问这类计数问题这类计数问题对于例对于例A30;,.02原原理理依依据据的的是是分分类类加加法法计计数数完完成成这这件件事事情情分分类类置置为为标标准准是是否否出出现现以以及及出出现现的的位位以以解解法法.),(0,310:3数数的的个个数数到到没没有有重重复复数数字字的的三三位位就就得得即即不不是是三三位位数数的的个个数数的的排排列列
21、数数去去百百位位是是然然后后从从中中减减个个不不重重复复数数字字的的排排列列数数数数字字中中选选个个不不同同先先求求出出从从是是一一种种逆逆向向思思考考方方法法解解法法.)nm(mn,这这类类特特殊殊的的计计数数问问题题的的所所有有排排列列的的个个数数个个元元素素个个不不同同元元素素中中取取出出从从地地求求解解可可以以更更加加简简便便、快快捷捷以以及及推推导导求求排排列列数数公公式式念念引引进进排排列列的的概概可可以以看看到到从从上上述述问问题题的的解解答答过过程程A31例例5.5.计算：计算：（1 1）（2 2）（3 3）48A66A316A例例6.6.解方程：解方程：232100 xxAA
22、 例例7.7.求证：求证：11mnmnmnmAAA例例8.8.求求 的个位数字的个位数字100100332211AAAAS例例9.9.求求 的值的值1432nnnAAA32一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素按照一定顺序按照一定顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列，简称，简称“n取取m的一个排列的一个排列”。A33!) 1).(2)(1(mnnmnnnnAmnA34A35例例1.1.下列问题中哪些是排列问题？若是，下列问题中哪些是排列问题？若是，请用排列数公式写出答案。请用排列数公式写
23、出答案。（1 1）从高二）从高二(9)(9)班班5050名同学中选出名同学中选出3 3人去人去参加劳动，有多少种选法？参加劳动，有多少种选法？（2 2）从高二）从高二(9)(9)班班5050名同学中选出名同学中选出3 3人去人去参加参加3 3项不同的劳动，有多少种选法？项不同的劳动，有多少种选法？A36（3 3）从）从0,1,2,30,1,2,3，9 9共共1010个数字中选个数字中选出两个作为元素组成集合，有多少个不同出两个作为元素组成集合，有多少个不同的集合？的集合？（4 4）从）从0,1,2,30,1,2,3，9 9共共1010个数字中选个数字中选出两个分别作为横纵坐标出两个分别作为横纵
24、坐标(x,y),(x,y),有多少个有多少个不同的坐标？不同的坐标？A37（5 5）5 5名同学争夺名同学争夺3 3个项目的冠军，有多个项目的冠军，有多少种不同的情况？少种不同的情况？（6 6）5 5名同学坐名同学坐3 3个座位，有多少种不同个座位，有多少种不同的情况？的情况？（7 7）5 5名同学坐名同学坐8 8个座位，有多少种不同个座位，有多少种不同的情况？的情况？A38（8 8）中国足球甲级联赛实双循环赛制，）中国足球甲级联赛实双循环赛制，每两只球队都要分别在主场、客场打一场，每两只球队都要分别在主场、客场打一场，若有若有1616支球队，一共要打多少场比赛？支球队，一共要打多少场比赛？（
25、9 9）中国足协杯比赛实行淘汰制，两支）中国足协杯比赛实行淘汰制，两支球队打一场，胜者晋级，最后决出冠军。球队打一场，胜者晋级，最后决出冠军。若有若有1616支球队，一共要打多少场比赛？支球队，一共要打多少场比赛？（1010）中国象棋甲级联赛实行单循环制，）中国象棋甲级联赛实行单循环制，每两个队员比赛一场，最后按积分定出名每两个队员比赛一场，最后按积分定出名次。若有次。若有1616个队员，一共要进行多少场比个队员，一共要进行多少场比赛？赛？A39例例2.2.求求 的值的值1432nnnAA例例3.3.解下列方程：解下列方程：（1 1）2213623xxxAAA（2 2）19843xxAAA40
26、例例4.4.用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5共共6 6个数字选个数字选4 4个组个组成五重复数字的四位数。成五重复数字的四位数。(1)(1)共有多少个不同的四位数；共有多少个不同的四位数；(2)(2)共有多少个不同的四位偶数；共有多少个不同的四位偶数；(3)(3)共有多少个比共有多少个比20412041大的四位数。大的四位数。A41例例5. 5. 在在7 7名运动员中选出名运动员中选出4 4名组成接力队参加名组成接力队参加4 4100100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种？的安排方法有多少种？A42例例6.56.5人站成一排，（
27、人站成一排，（1 1）其中甲、乙两人必）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？须相邻，有多少种不同的排法？ （2 2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的排法？不同的排法？ （3 3）其中甲不站排头，有多少种不同的排）其中甲不站排头，有多少种不同的排法？法？ （4 4）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少种不同的排法？少种不同的排法？A431. 1. 若从若从6 6名志愿者中选出名志愿者中选出4 4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有多少种
28、？方案有多少种？2. 2. 从若干个元素中选出从若干个元素中选出2 2个进行排列，可得个进行排列，可得210210种不同的排列，那么这些元素共有多少个？种不同的排列，那么这些元素共有多少个？3. 53. 5个班，有个班，有5 5名语文老师、名语文老师、5 5名数学老师、名数学老师、5 5名英语老师，每班配一名语文老师、一名数学名英语老师，每班配一名语文老师、一名数学老师、一名英语老师，问有多少种不同的搭配老师、一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？方法？A444. 4. 计划展出计划展出1010幅不同的画，其中幅不同的画，其中1 1幅水彩画、幅水彩画、4 4幅油画、幅油画、5 5幅国画，排成
29、一行陈列，要求同幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有多少种？方式有多少种？5.5.（1 1）将）将1818个人排成一排，不同的排法有多个人排成一排，不同的排法有多少种？少种？ （2 2）将）将1818个人排成两排，每排个人排成两排，每排9 9人，不同人，不同的排法有多少种？的排法有多少种？ （3 3）将）将1818个人排成三排，每排个人排成三排，每排6 6人，不同人，不同的排法有多少种？的排法有多少种？A456. 56. 5名学生和名学生和1 1名老师照相，老师不能站排头，名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有多
30、少种不同的站法？也不能站排尾，共有多少种不同的站法？7. 47. 4名学生和名学生和3 3名老师排成一排照相，老师不名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有多少种？法有多少种？8. 8. 停车场有停车场有7 7个停车位，现在有个停车位，现在有4 4辆车要停放，辆车要停放，若要使若要使3 3个空位连在一起，则停放的方法有多个空位连在一起，则停放的方法有多少种？少种？A469. 9. 一条铁路原有一条铁路原有n n个车站，为适应客运需要增个车站，为适应客运需要增加例加例m(m1)m(m1)个车站个车站, ,车票增加了车票增加了626
31、2种，问原有种，问原有多少个车站？多少个车站？10. 10. 某天要排语文，数学，英语，物理，化学，某天要排语文，数学，英语，物理，化学，体育体育6 6节课，其中上午节课，其中上午4 4节，下午节，下午2 2节。节。（1 1）若第）若第1 1节不排体育，最后一节不排数学，有节不排体育，最后一节不排数学，有多少排法？多少排法？（2 2）若第）若第1 1节不排体育，下午不排数学，有多少节不排体育，下午不排数学，有多少排法？排法？（3 3）若语文、数学排相邻，有多少排法？）若语文、数学排相邻，有多少排法？A47二、二、组合组合与与组合数组合数A48问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学
32、中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3组合组合A49从已知的从已知的3个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2个元个元素素, ,并成一组并成一组问题二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元
33、素中每次取出中每次取出2个元素个元素, ,按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列. .问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序A50 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合. . 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ A51组合定义组合定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个
34、素的一个组合组合排列定义排列定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个元素，元素，按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同个不同元素中取出元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点: : 都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关与元素的顺序有关改变顺序不相同，改变顺序不相同，组合组合与元素的顺序无关与元素的顺序无关无顺序，或唯一顺序。无顺序，或唯一顺序。对对“排列、组合排列、组合”的认识：的认识：A52思考一思考一: :a aB
35、 B与与B Ba a是相同的排列，还是相同的组合是相同的排列，还是相同的组合? ?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相两个相同的组合呢同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同. .元素相同元素相同构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；构造组合就是其中一个步骤构造组合就是其中一个步骤. .思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?A53例例1.1.判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=A=a
36、a, ,b b, ,c c, ,d d, ,e e ，则集合，则集合A A的含有的含有3 3个元素个元素的子集有多少个的子集有多少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，个车站， 则这条铁路线上共需准备多少种车票则这条铁路线上共需准备多少种车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合组合(3)10(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手多少次共需握手多少次? ?组合组合组合组合组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.排列排列A54例例2.2.从从 a
37、, b , ca , b , c三个不同的元素中取出两个三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是元素的所有组合分别是: :ab , ac , bc 例例3.3.已知已知4 4个元素个元素a , b , c , d a , b , c , d , ,写出每次取写出每次取出两个元素的所有组合出两个元素的所有组合. .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) )A55 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素
38、的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如: :从从 a , b , ca , b , c三个不同的元素中取出两个三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是元素的所有组合个数是: :如如: :已知已知4 4个元素个元素a a 、b b 、 c c 、 d ,d ,写出每次写出每次取出两个元素的所有组合个数是：取出两个元素的所有组合个数是： 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnCA56写出从写出从a,b,c,d a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所四个元素中任取三个元素的所有组合和排列，并探究二者的关系。有组合和
39、排列，并探究二者的关系。abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcbacdA57组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?A58PPC333434 34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们
40、可以按照以下步骤进行A59 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素的排列数，可以分为以下的排列数，可以分为以下2 2步：步： 第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的组合数元素的组合数 mnC第第2 2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m m个元素的全排列数个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 这里这里m,nm,n是自然数，且是
41、自然数，且 m m n n ，这个公式叫做，这个公式叫做 .mmAA60组合数公式组合数公式: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：从从 n n个不同元中取出个不同元中取出m m个元素的排列数个元素的排列数A61组合数公式组合数公式: :排列数公式：排列数公式：)!(!) 1).(2)(1(mnnmnnnnAmn)!( !) 1).(2)(1(!mnmnmmnnnnmACmnmn11! 0!0nnnnnCCnA，规定：A62例例1.1.计算：计算： 47C 710C例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足
42、球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：32 nnCA（3 3）已知：）已知： ，求，求n n的值的值 。A63例3.11CmnmCmnmn:求证,! :）（！证明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )
43、!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn A64mnC3.103.10名学生，名学生，7 7人扫地，人扫地，3 3人洒水，那么不同人洒水，那么不同 的分工方的分工方法有法有 种；种；1.1.用用m m、n n表示表示2.2.从从8 8名乒乓球选手中选出名乒乓球选手中选出3 3名打团体赛，名打团体赛，共有共有 种不同的选法；种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有如果这三个选手又按照不同顺序安排，有 种方法种方法. . A65例例1.1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查进行检查. .现有现有100100件产品，其中件产品，其中3 3
44、件次品，件次品，9797件件正品正品. .要抽出要抽出5 5件进行检查，根据下列各种要求，件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：5100C（1 1）597C（2 2）23973CC（3 3）5510097CC（4 4）413223973973973CCCCCC，或，或（5 5）504132973973973CCCCCC23973CC（6 6）A661.1.有
45、有1010道试题，从中选答道试题，从中选答8 8道，共有道，共有 种种选法、又若其中选法、又若其中6 6道必答，共有道必答，共有 不同不同的种选法的种选法. .2.2.某班有某班有5454位同学，正、副班长各位同学，正、副班长各1 1名，现选派名，现选派6 6名同学名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种，各有多少种不同的选法？不同的选法？（1 1）无任何限制条件；）无任何限制条件；（2 2）正、副班长必须入选；）正、副班长必须入选；（3 3）正、副班长只有一人入选；）正、副班长只有一人入选；（4 4）正、副班长都不入选；）正、副班长都不入选；（
46、5 5）正、副班长至少有一人入选；）正、副班长至少有一人入选；（6 6）正、副班长至多有一人入选；）正、副班长至多有一人入选；A67例例2.2.从数字从数字1,2,5,71,2,5,7中任选两个中任选两个 有不同的英文书有不同的英文书5 5本本, ,不同的中文书不同的中文书7 7本本, ,从中选出两本书从中选出两本书. .(1)(1)若其中一本为中文书若其中一本为中文书, ,一本为英文书一本为英文书. . 问共有多少种选法问共有多少种选法? ?(1) (1) 可以得到多少个不同的和可以得到多少个不同的和? ? (2)(2)可以得到多少个不同的差可以得到多少个不同的差? ?(2)(2)若不限条件
47、若不限条件, ,问共有多少种选法问共有多少种选法? ?6个12个35种66种A68例例3.3.有有1212名划船运动员名划船运动员, ,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷, , 4 4人只会划右舷人只会划右舷, , 其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷, , 又会划又会划右舷右舷, , 现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?有有1010名同学，名同学，5 5名会唱歌，名会唱歌，7 7名会跳舞，名会跳舞，现选唱歌和跳舞的各一名，有多少种选法？现选唱歌和跳舞的各一名，有
48、多少种选法？A69例例4.4.在在MONMON的边的边ONON上有上有5 5个异于个异于O O点的点点的点, ,OMOM上有上有4 4个异于个异于O O点的点点的点, ,以这十个点以这十个点( (含含O)O)为为顶点顶点, ,可以得到多少个三角形可以得到多少个三角形? ?NOMABCDEFG HIA701 1、如图、如图, ,在以在以ABAB为直径的半圆周上有异于为直径的半圆周上有异于A A, ,B B的六个点的六个点C C1 1, , C C2 2 , ,C C3 3 , , C C4 4 , ,C C5 5 , ,C C6 6 , , ABAB上有异于上有异于A A, , B B的四个点的
49、四个点D D1 1 , , D D2 2 , , D D3 3 , , D D4 4, ,问问 (1)(1)以这以这1010个点中的个点中的3 3个点为顶点可作多少个三角形个点为顶点可作多少个三角形? ? (2) (2)以图中以图中1212个点个点( (包括包括A A, ,B B) )中的四个为顶点中的四个为顶点, ,可作多可作多少个四边形少个四边形? ?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C6A712 2、如图两组平行直线有、如图两组平行直线有1212个交点，平行线间距离相等个交点，平行线间距离相等 (1)(1)以这些平行线为边能组成多少个平行四边形以这些平行线为边能组成多少个平行四边形
50、? ? (2) (2)以这些交点为顶点能组成多少个三角形以这些交点为顶点能组成多少个三角形? ?A723 3、平面、平面M/N, MM/N, M内有内有5 5个点，个点，N N内有内有4 4个点，任个点，任3 3点不共点不共线，无其他四点共面线，无其他四点共面. .（1 1）能组成多少条直线）能组成多少条直线? ?（2 2）三棱锥？）三棱锥？（3 3）四棱锥？）四棱锥？A7396979999CC例题例题（1 1）求）求 的值的值 221717xxCC（2 2）求满足）求满足 的的x值值11122mmmmnnnnCCCC（3 3）求证：）求证：11111mmmmnnnnCCCC129999CCC
