1、第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1010. .1 1 随机事件与概率随机事件与概率10.1.4 概率的基本性质第十章 概率第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率(1)(1)有限性有限性：样本空间的样本点只有有限个；：样本空间的样本点只有有限个；(2)(2)等可能性等可能性：每个样本点发生的可能性相等：每个样本点发生的可能性相等. .1.1.古典概型的特征：古典概型的特征：2.2.古典概型的概率：古典概型的概率： 一般地，设试验一般地，设试验E E是古典概型，样本空间是古典概型，样本空间包含包含n n个样本点，个样本点，事件事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定义个
2、样本点，则定义事件事件A A的概率的概率 P(A)=P(A)=k kn n( (A A) )= =n nn n( ( ) )复习回顾第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 一般而言一般而言, ,给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质究这个数学对象的性质. . 例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的数函数的定义域定义域、值域值域、单调性单调性、特殊点的函数值特殊点的函数值等性质等性质, ,这些这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用性质在解决问题时可
3、以发挥很大的作用. .类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质. .思考:你认为可以从哪些角度研究概率的性质?第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率下面我们从定义出发研究概率的性质下面我们从定义出发研究概率的性质, ,例如例如: :概率的取值范围概率的取值范围; ;特殊事件的概率特殊事件的概率; ;事件有某些特殊关系时事件有某些特殊关系时, ,它们的概率之间的关系它们的概率之间的关系; ;等等等等. .由概率的定义可知由概率的定义可知: : 任何事件的概率都是非负的任何事件的概率都是非负的; ; 在每次试验中在每次试验中
4、, ,必然事件一定发生必然事件一定发生, ,不可能事件一定不会发生不可能事件一定不会发生. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率一般地，概率有如下性质:性质性质1 1 对任意的事件对任意的事件A A，都有，都有P(A)P(A)性质性质2 2 必然事件的概率为必然事件的概率为00. .1 1，不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 0，即，即 P()=1P()=1，P(P( )=0)=0. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 在在“事件的关系和运算事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关中我们研究过事件之间的某些关系系. .具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关
5、系呢具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢? ?因为因为n(R)=2n(R)=2，n(G)=2n(G)=2，n(RG)=2+2=4n(RG)=2+2=4，所以所以 一个袋子中有大小和质地相同的一个袋子中有大小和质地相同的4 4个球，其中有个球，其中有2 2个红色球个红色球( (标标号为号为1 1和和2)2)，2 2个绿色球个绿色球( (标号为标号为3 3和和4)4), ,从袋中不放回地依次随机摸从袋中不放回地依次随机摸出出2 2个球个球. R=“. R=“两次都摸到红球两次都摸到红球”，G=“G=“两次都摸到绿球两次都摸到绿球”. .1 23411111222223333344444
6、事件事件R R与事件与事件G G互斥互斥, ,RG=RG=“ “两次摸到球颜色相同两次摸到球颜色相同” ”. .P P(R)(R)+P+P(G)=(G)=P=P(RG)(RG)12122 212122 212124 4 设事件设事件A A与事件与事件B B互斥互斥, ,和事件和事件ABAB的概率与事件的概率与事件A A、B B的概率的概率之间具有怎样的关系之间具有怎样的关系? ?我们我们用用10.1.210.1.2节例节例6 6来探究来探究. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 一般地，因为事件一般地，因为事件A A与事件与事件B B互斥，即互斥，即A A与与B B不含有相同的样本
7、点，不含有相同的样本点，所以所以n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)=n(A)+n(B)，这等价于，这等价于P(AB)=P(A)+ P(B)P(AB)=P(A)+ P(B)，即两个互，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. .所以我们就得到所以我们就得到互互斥事件的概率加法公式斥事件的概率加法公式. .性质性质3 3 如果如果事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥，那么，那么 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)性质性质3 3的推论的推论 如果事件如果事件A A1 1,A,A2 2, ,AmAm两两互斥两两互
8、斥, ,那么事件那么事件A A1 1AA2 2AmAm发生的概率等于这发生的概率等于这m m个事件分别发生的概率之和个事件分别发生的概率之和, ,即即 P(P(A A1 1AA2 2AmAm)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2) )+P(Am)+P(Am)第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率设事件设事件A A和事件和事件B B互为对立事件，它们的概率有什么关系互为对立事件，它们的概率有什么关系? ? 因为事件因为事件A A和事件和事件B B互为对立事件互为对立事件, ,所以和事件所以和事件ABAB为必为必然事件然事件, ,即即P(AB)=1.P(AB)=1.由性质由性质
9、3,3,得得1=P(AB)=P(A)+P(B).1=P(AB)=P(A)+P(B).性质性质4 4 如果如果事件事件A A与事件与事件B B互为对立事件互为对立事件，那么，那么 P(B)=1-P(A) P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)P(A)=1-P(B). .性质性质5 5( (概率的单调性概率的单调性) ) 如果如果A AB B，那么，那么P(A)P(B).P(A)P(B).性质性质5 5的推论的推论 对于任意事件对于任意事件A A，0P(A)10P(A)1. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 一般地，对于事件一般地，对于事件A A与事件与事件B B，如果，如果
10、A AB,B,即事件即事件A A发生，则发生，则事件事件B B一定发生，那么事件一定发生，那么事件A A的概率不超过事件的概率不超过事件B B的概率的概率. .因为因为n(A)n(B)n(A)n(B)，所以，所以于是于是P(A)P(B).P(A)P(B).，n(n() )n(B)n(B)n(n() )n(A)n(A)对于任意事件对于任意事件A A，P(A)P(A)的取值范围为多少？的取值范围为多少？因为因为 A A，根据性质，根据性质5 5，P(P( ) )P(P(A A) )P(P() )， 所以所以0P(A)1.0P(A)1.性质性质6 6 设设A A、B B是一个随机试验中的两个事件，有
11、是一个随机试验中的两个事件，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). .显然，性质显然，性质3 3是性质是性质6 6的特殊情况的特殊情况. .利用上述概率的性质，可以简化概率的计算利用上述概率的性质，可以简化概率的计算. . 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果AB，那么P(A)与P(B)有什么关系？第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1 23411111222223333344444P(RP(R1 1R R2 2)P(R)P(R1 1)+P(R)+P(R2 2) )，事件事件R R1 1和和R R2 2不互斥不互斥. .因为因为n(
12、)=12n()=12，n(Rn(R1 1)=n(R)=n(R2 2)=6)=6，n(n(R R1 1R R2 2)=10)=10，所以所以P(RP(R1 1) )+ +P(RP(R2 2)=)=1，1，12126 612126 6P P( (R R1 1RR2 2)=)=，12121010而而P P( (R R1 1RR2 2)=)=，12122 2因此因此P P( (R R1 1RR2 2)=)=P(RP(R1 1) )+ +P(RP(R2 2) )-P-P( (R R1 1RR2 2) ) 在在10.1.210.1.2节例节例6 6的摸球试验中，的摸球试验中，R R1 1=“=“第一次摸到
13、红球第一次摸到红球”，R R2 2=“=“第二次摸到红球第二次摸到红球”，“两个球中有红球两个球中有红球”=R”=R1 1RR2 2, ,那么那么P(RP(R1 1RR2 2) )和和P(RP(R1 1)+ P(R)+ P(R2 2) )相等吗相等吗? ?如果不相等如果不相等, ,请你说明原因，并思考如何计算请你说明原因，并思考如何计算P(RP(R1 1RR2 2).).第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率因为因为C=ABC=AB，A A与与B B是互斥事件是互斥事件. .根据互斥事件的概率加根据互斥事件的概率加法公式，法公式， 得得P(C)=P(C)=解：解：(1)(1)1 12 2
14、例例1 1 从不包含大小王牌的从不包含大小王牌的5252张扑克牌中随机抽取一张，设事件张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=A= “ “抽到红心抽到红心”，事件，事件B=“B=“抽到方片抽到方片”，P(A)=P(B)= P(A)=P(B)= ，那么，那么 (1)C=“ (1)C=“抽到红花色抽到红花色”，求，求P(C)P(C)； (2)D=“ (2)D=“抽到黑花色抽到黑花色”，求，求P(D). P(D). 4 41 14 41 14 41 1P(A)+P(B)=P(A)+P(B)=(2)(2)因为因为C C与与D D互斥，又因为互斥，又因为CDCD是必然事件，所以是必然事件，所以C C与与D D
15、互为对互为对立事件立事件. .因此因此 P(D)=P(D)=1-P(C)=1-P(C)=2 21 1- -1 11 12 2第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例例2 2 为了推广一为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料罐能够中奖的饮料.若若 从一箱中随机抽出从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少罐，能中奖的概率为多少?解：解：设事件设事件A=“A=“中奖中奖”，事件，事件A A1 1=“=“第一罐中奖第一罐中奖”，事件，事件A A2 2=“=
16、“第二罐中奖第二罐中奖”，那么事件那么事件A Al lA A2 2=“=“两罐都中奖两罐都中奖”， =“ =“第一罐中奖第一罐中奖, ,第二罐不中奖第二罐不中奖, =“ =“第一罐不中奖，第二罐中奖第一罐不中奖，第二罐中奖”，且，且A=AA=A1 1A A2 2 . .2 21 1A AA A2 21 1A AA A2 21 1A AA A2 21 1A AA A因为因为A A1 1A A2 2、 、 两两互斥，所以两两互斥，所以2 21 1A AA A2 21 1A AA AP(A)=P(P(A)=P(A A1 1A A2 2)+P( )+P( )+P( )+P( ) )2 21 1A AA
17、 A2 21 1A AA A2 21=21=22 24=84=8可能结果数可能结果数不中不中奖奖中奖中奖4 42=82=84 43=123=12不中不中奖奖中奖中奖中奖中奖不中不中奖奖2 24 41 14 42 23 3第一罐第一罐第二罐第二罐借助树状图借助树状图( (如右如右图图) )来求相应事件来求相应事件的样本点数的样本点数. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率2 21=21=22 24=84=8可能结果数可能结果数不中不中奖奖中奖中奖4 42=82=84 43=123=12不中不中奖奖中奖中奖中奖中奖不中不中奖奖2 24 41 14 42 23 3第一罐第一罐第二罐第二罐因
18、为因为n(An(A1 1A A2 2)=2)=2，n( )=8n( )=8，n( )=8n( )=8，所以，所以2 21 1A AA A2 21 1A AA A可以得到，可以得到，n()=6n()=65=305=30，且每个样本点都是等可能的，且每个样本点都是等可能的. .P(A)=P(A)=3 30 01 18 83 30 08 83 30 08 83 30 02 23 35 5思考：你还有另外方法求解此题吗思考：你还有另外方法求解此题吗？事件事件A A的对立事件是的对立事件是“不中奖不中奖”，即，即“两罐都不中奖两罐都不中奖”. .由于由于 =“ =“两罐都不中奖两罐都不中奖”，而，而n(
19、 )=n( )=2 21 1A AA A2 21 1A AA A4 43=123=12，所以，所以P(A)=P(A)=1-P( )=1-P( )=2 21 1A AA A3 30 01 18 83 30 01 12 21 13 35 5此解法说明什么？此解法说明什么？正难则反正难则反第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1判断正误判断正误(1)若若A与与B为互斥事件，则为互斥事件，则P(A)P(B)1.()(2)若若P(A)P(B)1，则事件，则事件A与与B为对立事件为对立事件()(3)某某班统计同学们的数学测试成绩，事件班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在所有同学的成绩
20、都在60分以上分以上”的对立事件为的对立事件为“所有同学的成绩都在所有同学的成绩都在60分以下分以下”()答案答案(1) (2) (3)课堂检测第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率2齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，求田忌获胜的概率中随机选一匹进行一场比赛，求田忌获胜的概率第十章第十章 概率
21、概率第十章第十章 概率概率概率的基本性质概率的基本性质性质性质1 1 对任意的事件对任意的事件A A，都有，都有P(A)P(A)性质性质2 2 必然事件的概率为必然事件的概率为00. .1 1，不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 0，即，即 P()=1P()=1，P(P( )=0)=0. .性质性质3 3 如果如果事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥，那么，那么P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B). .推论推论 如果事件如果事件A A1 1,A,A2 2, ,AmAm两两互斥两两互斥, ,那么事件那么事件A A1 1AA2 2 AmAm发生的概率等于这发生的概率
22、等于这m m个事件分别发生的概率之和个事件分别发生的概率之和, , 即即P(P(A A1 1AA2 2AmAm)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2) )+P(Am)+P(Am). .性质性质4 4 如果如果事件事件A A与事件与事件B B互为对立事件互为对立事件，那么，那么 P(B)=1-P(A) P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)P(A)=1-P(B). .性质性质5 5( (概率的单调性概率的单调性) ) 如果如果A AB B，那么，那么P(A)P(B).P(A)P(B).推论推论 对于任意事件对于任意事件A A，0P(A)10P(A)1. .性质性质6 6 设设A A、B B是一个随机试验中的两个事件，有是一个随机试验中的两个事件，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率作业：
