1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用6 6. .4 4 平面向量的应用平面向量的应用6.4.3.1 余弦定理第六章 平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用一、呈现背景 提出问题一个三角形含有各种各样的几何量,例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系.例如：直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数.一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明,给定三角形的三个角、三条边这
2、六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题.第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用一、呈现背景 提出问题 如右图，在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？ 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？1、余弦定理的推导第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面
3、向量及其应用平面向量及其应用 如图6.4-8，在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.设 cbaAB,CA,CB图图6.4-86.4-8ABCbac那么 )()(|2babacbabbaa2Ccos|222baba所以 Cabbaccos2222同理可得 Cbccbacos2222Ccaacbcos2222二、分析联想 寻求方法第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用2、余弦定理Cabbaccos2222Cbccbacos2
4、222Ccaacbcos2222余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 你能用其他方法证明余弦定理吗？思考思考：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？已知两边夹一角求第三边（已知两边夹一角求第三边（SAS型型）三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？已知三边求任意一个角（已知三边
5、求任意一个角（SSS型型） 余弦定理及其推论把用余弦定理及其推论把用“SAS”“SAS”和和“SSS”“SSS”判定三角判定三角形全等的方法从数量化的角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画度进行了刻画. .从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.bcacbA2cos222cabacB2cos222abcbaC2cos222三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用3、余弦定理与勾股定理的关系 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,
6、,余弦定理则指余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系出了三角形的三条边与其中的一个角的关系. .你能说说这两个定你能说说这两个定量之间的关系吗？量之间的关系吗？ 如果ABC中有一个角是直角，例如C=90，这时cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 一般地，三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3、解三角形的
7、定义例题例题5 5：在ABC中，已知 b=60cm , c=34cm , A=41o，解这个三角形.（角度精确到1o精边长精确到1cm）四、运用新知 巩固内化第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用四、运用新知 巩固内化1、在ABC中，已知b60 cm，c60 cm，A ，解这个三角形.62、在ABC中，若AB ，AC5，且cos C ，求BC.51094或或5第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用五、回顾反思 拓展问题1余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理是三角形边
8、角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例余弦定理的特例2用余弦定理可以解决两种解三角形的题型用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知已知三边解三角形三边解三角形(2)已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形3已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用1在ABC中，已知a2b2c2bc，则角A等于()A60 B45 C120 D302在ABC中，a1，b，c2，则B_.3在ABC中，若a2c2b2ab，则cos C_.4在ABC中，若(accos B)b(bccos A)a，判断ABC的形状. ABC为直角三角形或等腰三角形60C课堂检测第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用作业：
