1、第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数7 7. .3 3 复数的三角表示复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式第七章 复数第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数引言：前面我们已经学习了复数 a+bi 及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示形式复数的三角表示.问题问题1 1：前面我们已经学习了复数的概念、复数的几何意义，请同：前面我们已经学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆下它们分别是什么？学们回忆下它们分别是什么？一、温故知新 奠定基础复数复数zabi 复平面内的点复平面内的点Z(a,b) 一一对应一一对应复数复数zabi 平面向量平面向量 一一对应一一对应
2、),(baOZ 第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数追问追问1 1：你能在复平面内用平面向量表示：你能在复平面内用平面向量表示zabi吗吗？xyabZ:abiO追问追问2 2：已知平面向量：已知平面向量 , ,能唯能唯一确定与之对应的复数一确定与之对应的复数z吗？吗？为什么？为什么？),(baOZ 一、温故知新 奠定基础第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数二、引导探究 得出概念问题问题2 2：我们知道复数：我们知道复数zabi可以由向量可以由向量 的坐标的坐标 唯一确定，唯一确定，向量向量 既可以由它的坐标既可以由它的坐标 唯一确定，也可以由它的大小和方唯一确定，也可以由它的大
3、小和方向唯一确定，观察分析图向唯一确定，观察分析图1 1，能否借助向量的大小和方向这两个要，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？素来表示复数呢？你认为如何表示？OZ),(baOZxyabZ:abiO图图1 1),(ba追问追问1 1：为了解决：为了解决问题问题2 2，首先应研究什么？，首先应研究什么？追问追问2 2：如何用文字表述角：如何用文字表述角呢呢？追问追问3 3：你能用向量：你能用向量 的模，以及以的模，以及以x轴的轴的非负半轴为始边，以向量非负半轴为始边，以向量 所在射线为终所在射线为终边的角边的角来表示复数来表示复数z吗？吗？OZOZr第七章第七章 复数
4、复数第七章第七章 复数复数二、引导探究 得出概念sincosrbraxyabZ:abiO图图1 1r.)sin,cos,()sini(cossinicosi22rbrabarrrrba由复数由复数zabi的向量表示，易得的向量表示，易得追问追问4 4：角：角的终边落在第二、三、四象限时，上式也成立吗的终边落在第二、三、四象限时，上式也成立吗？第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数二、引导探究 得出概念复数的三角形式复数的三角形式一般地，任何一个复数一般地，任何一个复数zabi都可以表示成都可以表示成r(cos+isin)模模辐角辐角三角形式三角形式r是复数的是复数的模模；是以是以x轴的非
5、负半轴为始边，向量轴的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的所在射线为终边的角，叫做复数角，叫做复数zabi的的辐角辐角. .OZr(cos+isin)叫做复数叫做复数zabi的的三角表示式三角表示式，简称，简称三角形式三角形式. .abi叫做复数的叫做复数的代数表示式代数表示式，简称，简称代数形式代数形式. .第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数二、引导探究 得出概念问题问题3 3：一个复数的辐角的值有多少个？：一个复数的辐角的值有多少个？xyabZ:abiO图图1 1r追问追问1 1：这些辐角的值之间有什么关系呢？：这些辐角的值之间有什么关系呢？无限多个无限多个相差相差2的整数倍的
6、整数倍追问追问2 2：若复数为：若复数为0 0，它的辐角是哪个角？，它的辐角是哪个角？复数复数0 0对应零向量，零向量的方向对应零向量，零向量的方向是任意的，所以复数是任意的，所以复数0 0的辐角也是的辐角也是任意的，而不是任意的，而不是0.0.第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数二、引导探究 得出概念问题问题4 4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非便，为了使任意一个非0 0复数有唯一确定的复数有唯一确定的“值值”作为其所有辐作为其所有辐值的代表，你认为规定这种值的代表，你认为规定这种“值值”在哪个范
7、围内比较合适？在哪个范围内比较合适？追问追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？：一个非零复数辐角的主值有多少个？有且只有一个有且只有一个0 0第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数三、概念辨析 加深理解问题问题5 5： 是三角表示式吗？说出你的理由是三角表示式吗？说出你的理由. .)125cosi125(sin21例题例题1 1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式成三角形式. .)125cosi125(sin21) 1 ()3cosi3(sin21)2(复数的三角形式复数的三角形式r(cos+isin)第七章第七章
8、 复数复数第七章第七章 复数复数例题例题2 2：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. .；i2321) 1 (i.1)2(例题例题3 3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式并把这些复数表示成代数形式. .；sinicos) 1 (；611sini611cos6)2(四、概念应用 巩固新知第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数问题问题6 6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两：两个用代数形式表示的非零复数相等的条
9、件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？四、概念应用 巩固新知两个复数相等两个复数相等两个复数对应的向量相等两个复数对应的向量相等两个向量的长度相等且方向相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等两个复数的模相等且辐角主值相等第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数五、课堂小结 1、回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法？2、复数三角表示式的基本结构特点式什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？3、三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数六、目标检测 1 1、画、画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. .；i) 1 (i.2321)2(2 2、下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式. .)4ini4(cos21) 1 (s57ini57cos)2(s)6ini32(cos)3(s3 3、将下列复数表示成代数形式：将下列复数表示成代数形式：)23ini23(cos6) 1 (s)35ini35(cos2)2(s第七章第七章 复数复数第七章第七章 复数复数作业：
