1、10.1.3 古典概型一、教学目标 1. 理解古典概型及其概率计算公式2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率二、教学重点 古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率教学难点 运用古典概型计算概率三、教学过程1、情境引入 问题1：观察以下两个实验： （1）掷一枚质地均匀的硬币的试验（2）掷一枚质地均匀的骰子的试验它们的共同特征有哪些？ 答：试验（1）中共有2个样本点，试验（2）中共有6个样本点.在这两个试验中，每个样本点发生的可能性都是分别相等的，依次是，两个试验具有如下共同特征： 有限性：样本空间的样本点只有有限个； 等可能性：每个样本点发生的可能性相等，由此引
2、出本节学习内容2、探索新知1）随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示2）古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型问题2：思考下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？ （1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上” 答：对于问题（1），班级中共有40名学生，从中选择一名
3、学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型。抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小，因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点。因此，事件A发生的可能性大小为 对于问题（2），我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的
4、比值来度量，因为，所以事件B发生的可能性大小为3）古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A) 其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数【例1】单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？ 解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为=A,B,C,D，考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这
5、是一个古典概型 设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1所以，考生随机选择一个答案答对的概率P(M)= 问题3：在标准化考试中也有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么? 答：多选题更难，因为单选题选对的概率为，多选题有(A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D) (A,B,C) (A,B,D) (A,C,D) (B,C,D) (A,B,C,D)共11种，选对的概率为n, m, n 1, 2, 3, 4, 5, 6 有15个样本点 树状图法 列举样
6、本空间中的样本点所以样本空间 =( m, n ) | m, n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 其中共有36个样本点A= (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 有4个样本点B= (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 有6个样本点 C =( m, n ) | mn, m, n 1, 2, 3, 4, 5, 6 有15个样本点 方法规律：求古典概型概率的步骤：(1)确定样本空间的样本点的总数n(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m(3) P(A)问题4：在例2中为什么要把两枚骰子标上记号？ 你能解释其中原因吗?答
7、：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点，这样（1，2）和（2，1）的结果将无法区别问题5：如果不标记号，那么会出现什么情况？ 你能解释其中原因吗? 答：当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间其中，事件A=“两个点数之和为5”的结果变为这时，因此是错误的问题6：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？答：我们可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（1，1），（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率【例3】袋
8、子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：（1）A=“第一次摸到红球”（2）B=“第二次摸到红球”（3）AB=“两次都摸到红球”解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能结果将两次摸球的结果配对，组成20种等可能结果（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行）即A=（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）所以（2）第二次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2列）即B=（2，1
9、），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）所以（3）事件AB包含2个可能结果，即AB=（1，2）,（2，1），所以方法规律：以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便【例4】从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率解：设第一次抽取的人记为x1，第二次
10、抽取的人即为x2，则可用数组（x1,x2）表示样本点（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间为1=(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2, B1),( G2,B2),( G2,G1),( G2, G2)不放回简单随机抽样的样本空间为2=( B1, B2),( B1,G1),( B1,G2),( B2, B1),( B2, G1),( B2, G2),( G1, B1),( G1, B2),( G1, G2),( G2,
11、 B1),( G2, B2),( G2, G1)按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间3=( B1, G1),( B1, G2),( B2, G1),( B2, G2)（2）设事件A=“抽到两名男生”则对于有放回简单随机抽样A=( B1, B1),( B1, B2),( B2, B1),( B2, B2)因为抽中样本空间1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型所以对于不放回简单随机抽样，A=( B1, B2),( B2, B1)因为抽中样本空间2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型所以因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=
12、因此P(A)=0问题7：通过例4，对于不同的抽样方法有什么区别？答：例4表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同四、课堂练习P238 练习1、下列问题中是古典概型的是(D)A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间1,4上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率2、某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，
13、B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个则所求事件的概率为P五、课堂小结1、知识清单(1)古典概型(2)古典概型的概率公式2、方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数3、常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏六、课后作业习题10.1 7、8七、课后反思
