1、山东省聊城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数 z=a-i1+i(aR) 在复平面内对应的点在虚轴上则 a= （ ） A.1 B.0 C.-1 D.-22.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内可用符号表示为（ ） A.Al ， Bl ，且 A ， BlB.Al ， Bl ，且 A ， BlC.Al ， Bl ，且 A ， BlD.Al ， Bl ，且 A ， Bl3.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全
2、年空气质量优良天数的数据现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ） A.景区A这7年的空气质量优良天数的极差为100B.这7年A，B景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多C.景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273D.这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大4.如图， ABC 是 ABC 用斜二测画法画出的直观图，则 ABC 的周长为（ ） A.12B.2(2+5)C.4(1+2)D.2(2+2+5)5.已知向量 a=(,1) ， b=(4,) 若 |a-2b|=|a|+|2b| ，则实数 = （ ）
3、A.2或-2 B.2 C.0 D.-26.已知l表示直线， ， 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若l， 不平行，则 内不存在直线与l平行B.若l， 不垂直，则 内不存在直线与l垂直C.若 / ，则 内的所有直线均与 不垂直D.若 ，则 内的所有直线均与 不平行7.为庆祝中国共产党成立100周年，深人推进党史学习教育，引导干部学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为 125 若 a=b ，则该学校全体参赛
4、党员竞赛成绩的方差为（ ） A.167 B.2110 C.4320 D.33148.第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图 世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中 AA/PP/OO/BB （ O ， O 分别为半圆的圆心），线段 PP 与半圆分别交于C， C ，若 AA=280 米， BB=128 米
5、， POB=105 ， COB=75 ， OBB=120 ， 31.732 ，则 OP 的长约为（ ）A.27米B.28米C.29米D.30米9.已知平面单位向量 e1 ， e2 ， e3 满足 e1e2=32 ， e1e3=0 ，则下列结论可能成立的是（ ） A.e3=3e1+2e2B.e2e3=12C.|e2-e3|=62D.|e2+e3|=1二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）10.已知复数 z0 、 z ，其中 z0=2i-3 ，则下列结论正确的是（ ） A.z0 的虚部为 2
6、iB.z0 的共轭复数 z0=-2i-3C.z0 是关于 x 的方程 x2+6x+13=0 的一个根D.若 |z-z0|=3 ，则 z 在复平面内对应的点的集合是以 (-3,2) 为圆心， 3 为半径的圆11.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 A= “家庭中没有女孩”， B= “家庭中最多有一个女孩”， C= “家庭中至少有两个女孩”， D= “家庭中既有男孩又有女孩”，则（ ） A.A与C互斥B.AD=BC.B与C对立D.B与D相互独立12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶
7、点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 3+3 ，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ） A.与AB所成的角是60的棱共有8条B.AB与平面BCD所成的角为45C.二面角 A-BC-D 的余弦值为 -33D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为 2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为了解高一学生的体能情况，某校随机抽取了200名高一学生进行了1分钟跳绳测试，统计测试成绩并绘制如图的频率分布直方图，则这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为_ 14.已知一母线长为2的圆锥的轴截面面积是 3 ，则该圆锥的侧面积为_ 15.某盒子中有
8、大小和质地完全相同的四个小球，分别写有“百”“炼”“成”“钢”四个字，有放回地从中任意依次摸球，每次1球，直到“成”“钢”二字都摸到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生14之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“百”“炼”“成”“钢”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 434 342 431 143 243 124 234 441 223 321432 134 233 432 332 341 213 243 431 314由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为_16.已知梯形 ABCD 中， AB/CD
9、， AB=2CD ， E 为 BC 的中点， F 为 BD 与 AE 的交点， AD=AB+AE ，则 += _；若 AB=22 ， BC=6 ， ABC=45 ，则 AFD 的余弦值为_ 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点 A(-1,1) ， B(1,2) ， C(x,-1) ， D(3,y) （1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值； （2）若 x=-2 ，且 (AB+AC)CD ，求向量 AB 在 CD 方向上的投影向量 18.第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实
10、现人机物互联的网络基础设施某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：满意程度25岁以下26岁至50岁50岁以上男女男女男女满意20213516256一般202025191216不满意159101588（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求
11、第2次才挑选到了女用户的概率19.如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA 平面ABC，D为BC的中点，F为PD的中点，E为线段AC上一点， AC=4AE （1）证明： EF平面PAB； （2）若经过点E在底面ABC内画一条直线与PD垂直，则应该怎样画？请说明理由 20.记 ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a=2(b-ccosA) （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值 21.排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比
12、赛结束甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为 23 ，乙队发球时甲队获胜的概率为 25 ，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方 X:X 平后，甲队拥有发球权 （1）当 X=24 时，求两队共发2次球就结束比赛的概率； （2）当 X=22 时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率 22.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ACC1A1 平面ABC， A1AC=ACB=60 ， AA1=AC=2BC ，D是BC的中点，N为线段AC上的动点 （1）证明：平面 A1B1D 平面 BB1C1C ； （2）若 A1N+BN 的最小值为 27 ，求过 A1 ， B
13、1 ，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积 答案解析部分一、单选题1.若复数 z=a-i1+i(aR) 在复平面内对应的点在虚轴上则 a= （ ） A.1B.0C.-1D.-2【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】 z=a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-12-a+12i ，所以复数 z 在复平面内对应点的坐标为 (a-12,-a+12) ，由题意可得 a-12=0 ，解得 a=1 。 故答案为：A. 【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合复数 z=a-i1+i(aR) 在复平面内
14、对应的点在虚轴上，从而求出a的值。2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内可用符号表示为（ ） A.Al ， Bl ，且 A ， BlB.Al ， Bl ，且 A ， BlC.Al ， Bl ，且 A ， BlD.Al ， Bl ，且 A ， Bl【答案】 B 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】因为 A 、 B 是点，是元素，是直线 l 、平面 a 的元素，所以用“ ”，而 l 是点的集合，和平面 是集合与集合的关系，是平面 的子集关系，所以用“ ”. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合直线与平面的关系，再结合元素与集合的关系或集合间的关系
15、，从而找出用符号表示的正确的选项。3.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ） A.景区A这7年的空气质量优良天数的极差为100B.这7年A，B景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多C.景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273D.这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大【答案】 D 【考点】频率分布折线图、密度曲线，随机抽样和样本估计总体的实际应用 【解析】【解答】对A，景区A这7年的空气质量优良天数的极差为
16、313-203=110 ，A不符合题意； 对B，这7年A，B景区空气质量优良的天数在2018年相差的最多，B不符合题意；对C，景区B这7年的空气质量优良天数数据从小到大为255，262，262，266，280，283，293，因为 760%=4.2 ，所以景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为280，C不符合题意.对D，由折线图可知这7年景区A的空气质量优良天数的数据波动比景区B的空气质量优良天数的数据波动大，所以景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大，D符合题意.故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再利用统计的知识，从而结合极差的定
17、义和百分位数的求解方法、标准差的公式，进而找出结论正确的选项。4.如图， ABC 是 ABC 用斜二测画法画出的直观图，则 ABC 的周长为（ ） A.12B.2(2+5)C.4(1+2)D.2(2+2+5)【答案】 C 【考点】斜二测画法直观图，三角形中的几何计算 【解析】【解答】作出三角形 ABC 的直观图如下图所示： 由图可得 AB=BC=22+22=22 ， AC=4 ，因此，三角形 ABC 的周长为 4+42 。故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合斜二测画法作出三角形 ABC 的直观图，再利用勾股定理求出AB、BC的长，再结合斜二测画法结合已知条件求出AC的长，再结合三角形的周长
18、公式，从而求出三角形 ABC 的周长 。5.已知向量 a=(,1) ， b=(4,) 若 |a-2b|=|a|+|2b| ，则实数 = （ ） A.2或-2B.2C.0D.-2【答案】 D 【考点】向量的模，平行向量与共线向量 【解析】【解答】若 |a-2b|=|a|+|2b| ，则 a 与 b 方向相反， 由 2-4=0 得， =2 或 =-2 ，当 =2 时， a=(2,1) ， b=(4,2)=2a ， a 与 b 方向相同，舍去；当 =-2 时， a=(-2,1) ， b=(4,-2)=-2a ， a 与 b 方向相反，符合题意，故 =-2 。故答案为：D. 【分析】若 |a-2b|=
19、|a|+|2b| ，则 a 与 b 方向相反，再利用向量共线的坐标表示，从而求出 的值，再利用分类讨论的方法结合向量方向的判断方法，从而求出满足要求的的值。 6.已知l表示直线， ， 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若l， 不平行，则 内不存在直线与l平行B.若l， 不垂直，则 内不存在直线与l垂直C.若 / ，则 内的所有直线均与 不垂直D.若 ，则 内的所有直线均与 不平行【答案】 C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】A. 若l， 不平行，l可能在 内，此时 内存在直线与l平行，A不符合题意； B. 若l
20、， 不垂直，比如l在 内时，则 内存在直线与l垂直，B不符合题意；C. 若 / ，则 内的所有直线都与 平行，不可能垂直，C符合题意；D. 若 ，设交线为 a ,则 内的与交线 a 平行的直线都与 平行，D不符合题意.故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法和线线垂直的判断方法，从而找出说法正确的选项。7.为庆祝中国共产党成立100周年，深人推进党史学习教育，引导干部学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方
21、差为 125 若 a=b ，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ） A.167B.2110C.4320D.3314【答案】 A 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】设初中部20名党员竞赛成绩分别为 x1,x2,x20 ， 高中部50名党员竞赛成绩的平均分 y1,y2,y50 ，根据题意，则 (x1-a)2+(x2-a)2+(x20-a)220=2 ，(y1-b)2+(y2-b)2+(y50-b)250=125 ，所以 (x1-a)2+(x2-a)2+(x20-a)2=40 ，(y1-b)2+(y2-b)2+(y50-b)2=120 ，由于 a=b ，所以该学校
22、全体参赛党员竞赛成绩的平均分为 a ，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为(x1-a)2+(x2-a)2+(x20-a)2+(y1-a)2+(y2-a)2+(y50-a)270=16070=167 。故答案为：A. 【分析】设初中部20名党员竞赛成绩分别为 x1,x2,x20 ，高中部50名党员竞赛成绩的平均分 y1,y2,y50 ，根据题意，再利用平均数的性质结合方差的性质，再结合已知条件和平均数公式和方差公式，从而求出该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差。8.第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿
23、的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图 世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中 AA/PP/OO/BB （ O ， O 分别为半圆的圆心），线段 PP 与半圆分别交于C， C ，若 AA=280 米， BB=128 米， POB=105 ， COB=75 ， OBB=120 ， 31.732 ，则 OP 的长约为（ ）A.27米B.28米C.29米D.30米【答案】 B 【考点】正弦定理的应用 【解析】【解答】 AA/BB ， OBB
24、=120 ， AAB=60 ， 又 AA=280 ， BB=128 ，所以 cos60=280-1282AB ，则 AB=152 ，则半圆半径为 76 ，POB=105 ， COB=75 ， POC=105-75=30 ，又 AA/PP/OO ，所以 DOB=AAB=60,PCO=COD=15 ， OPC=135 ，sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=6-24 ，在 PCO 中，由正弦定理可得 OPsinPCO=OCsinOPC ，即 OP6-24=7622 ，解得 OP=38(3-1)38(1.732-1)28 米。故答案为：B. 【分析】利用已知条
25、件结合正弦定理结合两角差的正弦公式，从而求出OP的长。9.已知平面单位向量 e1 ， e2 ， e3 满足 e1e2=32 ， e1e3=0 ，则下列结论可能成立的是（ ） A.e3=3e1+2e2B.e2e3=12C.|e2-e3|=62D.|e2+e3|=1【答案】 B 【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】平面单位向量 e1 ， e2 ， e3 满足 e1e2=32 ， e1e3=0 ， 则可知 e1e3 ， e1,e2=30 ， e2,e3=60 ，对于A： 3e1 与 e1 同向， 2e2 与 e2 同
26、向，故 3e1 与 2e2 的夹角为 30 ，易知 3e1+2e2e3 ，A不符合题意；对于B： e2e3=|e2|e3|cos60=12 ，B符合题意；对于C： |e2-e3|2=(e2-e3)2=e22-2e2e3+e32=1-212+1=1 ，则 |e2-e3|=1 ，C不符合题意；对于D： |e2+e3|2=(e2+e3)2=e22+2e2e3+e32=1+212+1=3 ，则 |e2+e3|=3 ，D不符合题意；故答案为：B 【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，得出3e1+2e2e3；再利用已知条件结合数量积的定义，从而求出e2e3的值；利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，
27、从而利用数量积的定义和数量积的运算法则，进而求出|e2-e3|和|e2+e3|的值，从而找出结论可能成立的选项。二、多选题10.已知复数 z0 、 z ，其中 z0=2i-3 ，则下列结论正确的是（ ） A.z0 的虚部为 2iB.z0 的共轭复数 z0=-2i-3C.z0 是关于 x 的方程 x2+6x+13=0 的一个根D.若 |z-z0|=3 ，则 z 在复平面内对应的点的集合是以 (-3,2) 为圆心， 3 为半径的圆【答案】 B,C,D 【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 【解析】【解答】对于A选项，复数 z0 的虚部为 -2 ，A不符
28、合题意； 对于B选项， z0=-2i-3 ，B对；对于C选项， 解方程 x2+6x+13=0 ，即 (x+3)2=-4=(2i)2 ，可得 x+3=2i ，解得 x=-32i ，C对；对于D选项，设 z=x+yi(x,yR) ，则 z-z0=(x+3)+(y-2)i ，所以， |z-z0|=(x+3)2+(y-2)2=3 ，即 (x+3)2+(y-2)2=9 ，故 z 在复平面内对应的点的集合是以 (-3,2) 为圆心， 3 为半径的圆，D对.故答案为：BCD. 【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，从而求出复数 z0 的虚部；利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 z0 的共轭复数；利用
29、解一元二次方程的方法结合复数相等的等价关系，从而求出 z0 是关于 x 的方程 x2+6x+13=0 的一个根；设 z=x+yi(x,yR) ，再结合复数的加减法运算法则和复数的模求解公式，从而求出(x+3)2+(y-2)2=9 ， 再利用复数的几何意义得出复数 z 在复平面内对应的点的集合是以 (-3,2) 为圆心， 3 为半径的圆，从而找出结论正确的选项。11.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 A= “家庭中没有女孩”， B= “家庭中最多有一个女孩”， C= “家庭中至少有两个女孩”， D= “家庭中既有男孩又有女孩”，则（ ） A.A与C互斥B.AD=BC.
30、B与C对立D.B与D相互独立【答案】 A,C,D 【考点】并集及其运算，互斥事件与对立事件 【解析】【解答】有三个小孩的家庭的样本空间可记为： =(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，事件A=(男，男，男)，事件B=(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，事件C=(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，事件D=男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)对于A，显然A与C无公共元素，即A与C互斥，A符合题意；对
31、于B，(女，女，男) AD ，而(女，女，男) B ，即 ADB ，B不正确；对于C，显然 BC= ，且 BC= ，即B与C对立，C符合题意；对于D，事件B有4个样本点，事件D有6个样本点，事件BD有3个样本点，于是有 P(B)=48=12,P(D)=68=34,P(BD)=38 ，显然有 P(B)P(D)=P(BD) ，即B与D相互独立，D符合题意.故答案为：ACD 【分析】利用已知条件结合并事件的定义、互斥事件的定义、对立事件的定义和独立事件的定义，从而找出正确的选项。12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图，将正方体沿
32、交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 3+3 ，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ） A.与AB所成的角是60的棱共有8条B.AB与平面BCD所成的角为45C.二面角 A-BC-D 的余弦值为 -33D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为 2【答案】 B,C,D 【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【解答】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为 a ， 由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.则由半正多面体的表面积为 3+3 ，得 834(
33、22a)2+6(22a)2=3+3 ，解得 a=1 .A选项：在与 AB 相交的6条棱中，与AB所成的角是60的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是60的棱共有16条，故答案为：项A不符合题意；B选项：因为 AE 平面 BCD ，所以AB与平面BCD所成的角为 ABE=45 ，故答案为：项B符合题意；C选项：取 BC 的中点 F ，连接 EF ， AF ，则有 AFBC ， EFBC ，故二面角 A-BC-D 的补角为 AFE ，二面角 A-BC-D 的余弦值为 -cosAFE ，在直角 AEF 中， AE=12 ， EF=24 ， AEEF ，所以， AF=A
34、E2+EF2=14+18=64 ， cosAFE=EFAF=33 ， -cosAFE=-33 ，故答案为：项C符合题意；D选项：由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点 O ，点 O 在平面 ABE 的投影点为 O1 ，则有 OO1=12 ， AO1=12 ，所以 AO=OO12+AO12=22 ，故经过A，B，C，D四个顶点的球半径为 22 ，面积为 4(22)2=2 ，故答案为：项D符合题意.故答案为：BCD. 【分析】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为 a ，由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正
35、三角形构成，再利用半正多面体的表面积求解方法结合半正多面体的表面积为 3+3 ，从而求出a的值。再利用异面直线所成的角结合已知条件，从而找出与AB所成的角是60的棱的条数，再利用线面角的求解方法，从而求出直线AB与平面BCD所成的角，再结合二面角的求解方法和余弦函数的定义，从而求出二面角 A-BC-D 的余弦值，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点 O ，点 O 在平面 ABE 的投影点为 O1 ，则有 OO1=12 ， AO1=12 ，再利用勾股定理求出AO的长，进而求出经过A，B，C，D四个顶点的球半径，再利用球面面积公式
36、，从而求出经过A，B，C，D四个顶点的球面面积，进而找出说法正确的选项。 三、填空题13.为了解高一学生的体能情况，某校随机抽取了200名高一学生进行了1分钟跳绳测试，统计测试成绩并绘制如图的频率分布直方图，则这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为_ 【答案】 142 【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数 【解析】【解答】由频率之和为1可得 (a+0.005+0.01+0.006+a)40=1 ，解得 a=0.002 ， 因为前2组的频率之和为 (0.002+0.005)40=0.280.5 ，所以中位数在 120,160) 内，设为 x ，则 (x-120)0.01=0.5-0.28
37、 ，解得 x=142 ，所以这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为142。故答案为：142。 【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出a的值，再利用频率分布直方图求中位数方法，从而求出这200名学生1分钟跳绳次数的中位数。14.已知一母线长为2的圆锥的轴截面面积是 3 ，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】2 或 23【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，由题意可得 rh=3r2+h2=4r0 ，解得 r=1h=3 或 r=3h=1 ， 因此，该圆锥的侧面积为 2r=2 或 2r=2
38、3 。故答案为： 2 或 23 。 【分析】设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，再利用勾股定理结合圆锥的轴截面的求解公式和半径的取值范围，从而解方程组求出r和h的值，再利用圆锥的侧面积公式，从而求出该圆锥的侧面积。15.某盒子中有大小和质地完全相同的四个小球，分别写有“百”“炼”“成”“钢”四个字，有放回地从中任意依次摸球，每次1球，直到“成”“钢”二字都摸到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生14之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“百”“炼”“成”“钢”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 434
39、342 431 143 243 124 234 441 223 321432 134 233 432 332 341 213 243 431 314由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为_【答案】310【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】随机模拟产生了以下20组随机数： 434 ， 431 ，143 ， 243 ， 124 ， 234， 441， 223， 321，432 ， 134 ， 233 ，432， 332 ， 341， 213， 243， 431 ，314，其中第三次就停止摸球的随机数有： 143，243，234，134，243，314，共6个，由此可以估计，恰好第三次
40、就停止摸球的概率为 p=620=310 。故答案为： 310。 【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而估计出恰好第三次就停止的概率。16.已知梯形 ABCD 中， AB/CD ， AB=2CD ， E 为 BC 的中点， F 为 BD 与 AE 的交点， AD=AB+AE ，则 += _；若 AB=22 ， BC=6 ， ABC=45 ，则 AFD 的余弦值为_ 【答案】12；-1010【考点】平面向量的基本定理及其意义，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】 AD=AB+BC+CD=AB+2BE-12AB=AB+2(AE-AB)-12AB=2AE-32AB ， 因为 AD=AB
41、+AE ，则 =-32 ， =2 ，故 +=12 ；以点 B 为坐标原点， BA 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则 A(22,0) 、 B(0,0) 、 C(32,32) 、 D(42,32) 、 E(322,322) ，所以， EA=(22,-322) ， BD=(42,32) ，故 cosAFD=cos=EABD|EA|BD|=-1010 。故答案为： 12 ； -1010 。 【分析】利用已知条件结合三角形法则结合中点的性质，再结合平面向量基本定理得出AD=2AE-32AB ，因为 AD=AB+AE ，再结合对应相等，从而求出 和 的值 ，进而求出 + 的值，以点 B
42、 为坐标原点， BA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，从而求出 AFD 的余弦值。 四、解答题17.已知点 A(-1,1) ， B(1,2) ， C(x,-1) ， D(3,y) （1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值； （2）若 x=-2 ，且 (AB+AC)CD ，求向量 AB 在 CD 方向上的投影向量 【答案】 （1）解：由 A(-1,1) ， B(1,2) ， C(x,-1) ， D(3,y) ，得 AB=(2,1) ， CD=(3-x,y+1) ， 因为四边形 ABCD 是平行四边形
43、，所以 AB=-CD ，即 (2,1)=-(3-x,y+1) ，所以 2=-(3-x),1=-(y+1), 解得 x=5,y=-2.因为 x=5 ， y=-2 时， AB=(2,1) 与 BC=(4,-3) 不共线，符合题意，所以 x=5 ， y=-2 （2）由 A(-1,1) ， B(1,2) ， C(x,-1) ， D(3,y) ，且 x=-2 ， 得 AB=(2,1) ， AC=(-1,-2) ， CD=(5,y+1) ， AB+AC=(1,-1) ，因为 (AB+AC)CD ，所以 5-(y+1)=0 ，解得 y=4 ，所以 CD=(5,5) 设向量 AB 与 CD 的夹角为 ，则向量 AB 与 CD 方向上的投影向量为 |AB|cosCD|CD|=ABCD|CD|CD|CD|=1552+52(5,5)52+52=(32,32) 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的投影 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四边形 ABCD 是平行四边形，所以 A
