1、2020-2021学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分).在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1设向量,则( )A11B9C7D52sin330()A. B. C. D. 3在复平面内,复数z对应的点Z如图所示,则复数()A2+iB2iC1+2iD12i4某圆锥的母线长为5cm,底面半径长为3cm,则该圆锥的体积为()A12cm3B15cm3C36cm3D45cm35函数f(x)cos22xsin22x的最小正周期是()ABC2D46若sin0.4,则符合条件的角有()A1个B2个C3个D4个7函数f(x)Asin(x+)(其中A0,
2、0,0)的图像的一部分如图所示,则此函数的解析式是()A. B. C D. 8向量与的夹角为( )A30B40C60D909在ABC中,内角A和B所对的边分别为a和b,则ab是sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10已知单位向量,满足,若非零向量,其中,则的最大值为( )A. B. C. D. 二、填空题(每题3分,满分25分,将答案填在答题纸上)11设复数,则|z| 12已知半径为r的球的表面积为36cm2,那么半径为2r的球的表面积为 cm213在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若,则A 14已知向量,满足,那么 15设函
3、数f(x)sinx,g(x)x2x+1,有以下四个结论函数yf(x)+g(x)是周期函数;函数yf(x)g(x)的图像是轴对称图形;函数yf(x)g(x)的图像关于坐标原点对称;函数存在最大值其中,所有正确结论的序号是 三、解答题:共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16已知()求tan的值;()求sin2的值17如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1平面ABCD,ADBC,BAD90,ACBD,且ABAD2,AA11()求三棱锥B1ABD的体积;()求证:BC平面ADD1A1;()求证:ACB1D18在中,.(1)求的面积;(2)求的值.19已知函数同时满足
4、下列三个条件中的二个:f(0)2;最大值为2;最小正周期为()求出所有可能的函数f(x),并说明理由;()从符合题意的函数中选择一个,求其单调增区间20如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA12,E为AA1的中点,O为BD1的中点()求证:平面A1BD1平面ABB1A1;()求证:EO平面ABCD;()设P为正方体ABCDA1B1C1D1棱上一点,给出满足条件的点P的个数,并说明理由21设函数f(x)的定义域为R若存在常数T,A(T0,A0),使得对于任意xR,f(x+T)Af(x)成立,则称函数f(x)具有性质P()判断函数yx和ycosx具有性质P?(结论不要求证明)()若函数f(
5、x)具有性质P,且其对应的T,A2已知当x(0,时,f(x)sinx,求函数f(x)在区间,0上的最大值;()若函数g(x)具有性质P,且直线xm为其图像的一条对称轴,证明:g(x)为周期函数参考答案一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分).1设向量,则()A11B9C7D5解:向量,则3+85故选:D2sin330()ABCD解:sin330sin(270+60)cos60故选:B3在复平面内,复数z对应的点Z如图所示,则复数()A2+iB2iC1+2iD12i解:由图可知,点Z对应的复数z2+i,则,故选:B4某圆锥的母线长为5cm,底面半径长为3cm,则该圆锥的体积为()A12cm
6、3B15cm3C36cm3D45cm3解:圆锥的母线长l5cm,底面半径长r3cm,所以圆锥的高h4(cm),所以该圆锥的体积为Vr2h32412(cm)3故选:A5函数f(x)cos22xsin22x的最小正周期是()ABC2D4解:因为f(x)cos22xsin22xcos4x,所以f(x)的最小正周期T,故选:A6若sin0.4,则符合条件的角有()A1个B2个C3个D4个解:利用正弦函数ysinx,的图象,和函数y0.4的图象,所以这两个函数的图象有3个交点,如图所示:故满足条件的角有3个故选:C7函数f(x)Asin(x+)(其中A0,0,0)的图像的一部分如图所示,则此函数的解析式
7、是()ABCD解:由图象得函数f(x)的最小正周期为T4(62)16,所以;由图象的最高点为(2,3),得A3,且f(2)3,即,由0,解得故选:C8向量与的夹角为()A30B40C60D90解:根据题意,设两个向量的夹角为,向量与,则|1,|1,cos50cos10+sin50sin10cos40,则coscos40,又由0180,故两个向量的夹角为40,故选:B9在ABC中,内角A和B所对的边分别为a和b,则ab是sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解:在三角形中,若ab,由正弦定理,得sinAsinB若sinAsinB,则正弦定理,得ab
8、,所以,ab是sinAsinB的充要条件故选:C10已知单位向量,满足,若非零向量x+y,其中x,yR,则的最大值为()ABCD解:因为单位向量,满足,所以,设(1,0),(,),所以x+yx(1,0)+y(,(x,y),所以|,所以当x0时,0,当x0时,令t,则1t+t2(t)2+,所以,所以的最大值为故选:D二、填空题(每题3分,满分25分,将答案填在答题纸上)11设复数,则|z|解:因为z,所以|z|,故答案为:12已知半径为r的球的表面积为36cm2,那么半径为2r的球的表面积为 144cm2解:由题意,4r236,解得r3,那么半径为2r的球的表面积为462144cm2,故答案为:
9、14413在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若,则A解:因为,所以由正弦定理可得sinAsinBsinB,因为sinB0,所以sinA,又A为锐角,所以A故答案为:14已知向量,满足,那么解:向量,满足,(+)+160,16,故答案为:15设函数f(x)sinx,g(x)x2x+1,有以下四个结论函数yf(x)+g(x)是周期函数;函数yf(x)g(x)的图像是轴对称图形;函数yf(x)g(x)的图像关于坐标原点对称;函数存在最大值其中,所有正确结论的序号是 解:对于:因为函数f(x)sinx是周期函数,但是g(x)x2x+1不是周期函数,所以yf(x)+g(x)不是周期函数
10、,故不正确;对于:因为函数f(x)sinx对称轴为x+k,kZ,所以x是f(x)的一条对称轴,因为g(x)x2x+1(x)2+,对称轴为x,所以yf(x)g(x)的对称轴为x,故正确;对于:因为函数f(x)sinx是关于原点对称,但是g(x)x2x+1不关于原点对称,所以yf(x)g(x)不是关于原点对称,故不正确;对于:y,f(x)sinx,当x时,f(x)max1,因为g(x)x2x+1(x)2+,则g(x)ming(),所以y有最大值为,故正确故答案为:三、解答题:共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16已知()求tan的值;()求sin2的值解:(),tan2(
11、)sin217如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1平面ABCD,ADBC,BAD90,ACBD,且ABAD2,AA11()求三棱锥B1ABD的体积;()求证:BC平面ADD1A1;()求证:ACB1D【解答】()()证明:因为ADBC,BC平面ADD1A1,AD平面ADD1A1,所以BC平面ADD1A1()证明:因为BB1底面ABCD,AC底面ABCD,所以BB1AC又因为ACBD,BB1BDB,所以AC平面BB1D又因为B1D平面BB1D,所以ACB1D18在ABC中,AB4,AC3,()求ABC的面积;()求的值解:()在ABC中,由余弦定理可知:cosC,解得:BC2或BC(
12、舍),又cosC,0C,sinC,SABCBCACsinC23;()在ABC中,由正弦定理可得:,则sinB,BCACAB,B为锐角,cosB0,cosB,|cosB4319已知函数同时满足下列三个条件中的二个:f(0)2;最大值为2;最小正周期为()求出所有可能的函数f(x),并说明理由;()从符合题意的函数中选择一个,求其单调增区间解:(I);若选,则,无解,f(x)不存在;若选,则,解得m1,2,;若选,则,解得m0,2,(II)若,令,所以增区间为若,其增区间与相同,为20如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA12,E为AA1的中点,O为BD1的中点()求证:平面A1BD1平面
13、ABB1A1;()求证:EO平面ABCD;()设P为正方体ABCDA1B1C1D1棱上一点,给出满足条件OP的点P的个数,并说明理由【解答】()证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D1平面ABB1A1,A1D1平面A1BD1,平面A1BD1平面ABB1A1()证明:连接BD,AC,设BDACG,连接0GABCDA1B1C1D1为正方体,AEDD1,且AEDD1,且G是BD的中点,又因为O是BD1的中点,OGDD1,且OGDD1,OGAE,且OGAE,即四边形AGOE是平行四边形,所以OEAG,又EO平面ABCD,AG平面ABCD,所以EO平面ABCD()解:满足条件OP的点P有12个
14、理由如下:因为 ABCDA1B1C1D1为正方体,AA12,所以 AC2所以 OEAGAC在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为 AA1平面ABCD,AG平面ABCD,所以 AA1AG,又因为 EOAG,所以 AA1OE,则点O到棱AA1的距离为,所以在棱AA1上有且只有一个点(即中点E)到点O的距离等于,同理,正方体ABCDA1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于,所以在正方体ABCDA1B1C1D1棱上使得OP的点P有12个21设函数f(x)的定义域为R若存在常数T,A(T0,A0),使得对于任意xR,f(x+T)Af(x)成立,则称函数f(x)具有性质P()判断函数yx和ycosx
15、具有性质P?(结论不要求证明)()若函数f(x)具有性质P,且其对应的T,A2已知当x(0,时,f(x)sinx,求函数f(x)在区间,0上的最大值;()若函数g(x)具有性质P,且直线xm为其图像的一条对称轴,证明:g(x)为周期函数解:()函数yx不具有性质P;函数ycosx具有性质P()设x(,0,则x+(0,由题意,得f(x+)2f(x)sin(x+),所以当f(x)sinx,x(,0由f(+)2f(),f(0+)2f(0),得f()f()0所以当x,0时,f(x)sinx故当x时,f(x)在区间,0上有最大值()证明:当g(x)0,xR时,结论显然成立;下面考虑g(x)不恒等于0的情况,即存在x0,使得g(x0)0,由于直线xm为函数g(x)图象的一条对称轴,所以g(2mx0)g(x0)0,由题意,存在T0,A0,(T00,A00),使得g(x+T0)A0g(x0)成立,所以g(2mx0)A0g(2mx0T0),即g(2mx0T0)g(x0),由直线xm是函数g(x)图像的一条对称轴,得g(2mx0T0)g(x0+T0),又因为g(x0+T0)A0g(x0),g(x0)0,所以g(x0)A0g(x0),即A01,故对于任意xR,g(x+T0)g(x)成立,其中T00综上,g(x)为周期函数