1、6.2.4 向量的数量积2021.2新课程标准新课程标准核心素养核心素养1.理解平面向量的数量积的定义理解平面向量的数量积的定义.数学抽象数学抽象2.了解投影向量的概念了解投影向量的概念.直观想象直观想象3.了解向量的数量积与实数的乘法的区别了解向量的数量积与实数的乘法的区别.数学运算数学运算4.掌握向量数量积的性质及其运算律掌握向量数量积的性质及其运算律.逻辑推理逻辑推理一、呈现背景一、呈现背景 提出问题提出问题前面我们学习了向量的加法、减法运算前面我们学习了向量的加法、减法运算. . 类比数的运算，出现了一个类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义
2、？自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？Fs一个物体在力一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移S，那么那么F所做的功所做的功力做的功力做的功：W = |F| |s|cos ， 是是F与与s的夹角。的夹角。OA功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. . 这给我们一种启示，这给我们一种启示，能否把能否把“功功”看成是两个向量看成是两个向量“相乘相乘”的结果呢？受此启发，我们的结果呢？受此启发，我们引入向量引入向量“数量积数量积”的概念的概念. .二、分析联想二、分析联想 寻求方法寻求方法1两向量的夹角两向量的夹角 对于两个非
3、零向量对于两个非零向量 和和 ，如图作，如图作 , ，我们就称，我们就称AOB=为向量为向量 与与 的夹角的夹角.abOA=aOB=babababOAB 如果向量 与 的夹角是90,则称向量 与 垂直，记作 .ababba当=0 时， 与 同向； 当=时， 与 反向.abba向量夹角的找法：起点相同，或终点相同.向量夹角的范围是多少？0,2平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积数量积(或内积内积)，记作ab，即 ab|a|b|cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.两个向量的数量积是向量还是数量？零向量与任意向量的数量
4、积是多少？两个向量的数量积是数量，这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角有关.而向量线性运算的结果是一个向量.零向量与任意向量的数量积是0，即 0a = 0两个非零向量的数量积为正的条件是什么？两个非零向量的数量积为负的条件是什么？当两个向量的夹角为锐角或0时，其数量积为正；当两个向量的夹角为钝角或180时，其数量积为负.向量a在向量b上ABA1B1CDabOMaNbM1|a|cos e 设与设与 方向相同的单位向量为方向相同的单位向量为 , 与与 的夹角为的夹角为,那么向量那么向量 在在 上的投影向量上的投影向量 与与 、 、之间有怎样的关系之间有怎样的关系?beaeabOM1e a显然显
5、然 OM1= e|OM1|=|e|OM1|=|=|a|cos 可以验证，可以验证，0,时，时，=|a|cos NMOM1abeNMOM1NMOM1aabbeeOM1=|a|cos e数量积的几何意义：数量积的几何意义： 与与 的数量积等于的数量积等于 与与 在在 上的投影向量的模的积。上的投影向量的模的积。abbab4.向量数量积的性质设 ， 都是非零向量，则ab b1) =0baa2)当 ， 同向时， 当 ， 反向时， ab=abab=- -ababba特别的a=a223) ab= ab4)cos= (为 ， 的夹角)ababab5.向量数量积的运算律1ab_ (交换律)2(a)b_ _ (
6、结合律)3(ab)c_ (分配律)ba(ab)a(b)acbc数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合津，即(ab)c不一定等于(bc)a，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而(bc)a表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线 我们知道，对任意a、bR，恒有 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2. 仿照这几个式子，猜想下面各式运算的结果，并证明. 对于任意向量 ,ab(1) (a + b)2=_(2) (a - - b)2=_(3) (a + b)(a - b)=_a2 +2ab + b2a2 -2
7、ab + b2a2 - b290或a0或b0，故错；为钝角或180，故错；ABCD例1已知向量a、b满足|a|b|5，且a与b的夹角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.题型二题型二 向量的模长问题向量的模长问题题型三题型三 向量的夹角问题向量的夹角问题若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为 ()A30 B60 C120 D150例2.已知abc0，|a|3，|b|5，|c|7.(1)求a与b的夹角；(2)是否存在实数,使ab与a2b共线？(3)是否存在实数,使 ab与a2b垂直？ABCBDCD= (BC CD)+CD=BCCD+ CD2BCCD=aacos60=12a2ABCDE
