1、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示Oxyaij.基底作为和的两个单位向量轴方向相同轴、分别取与在直角坐标系中，我们定义：jiyx.,jyixayxa 使使得得、有有一一对对实实数数且且只只面面向向量量基基本本定定理理知知，有有由由平平任任作作一一个个向向量量),(yxa 温故知新温故知新,0 时当o时，当o180时，当o90同向与ba反向与bababa垂直，记作与温故知新温故知新1，向量的夹角定义：，向量的夹角定义：设两个非零向量设两个非零向量a和和b，作，作 a， b，共起点与ba则则AOB叫叫a与与b的夹角的夹角其范围是其范围是0，12060BACD BCAD与.1 CDAB与.2 DA
2、AB与.3 ABCD， DAB=600 OA OB2平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积的定义：向向量量垂垂直直的的充充要要条条件件：.3 4. 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律.)()3(;)()()()2(;)()1(cbcacbabababaabba 交换律交换律.cos) 1 (baba . 0baba温故知新温故知新5.5.平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义: :abBAOcosa bab OABBbcoscos与 的数量积等于 的长度与在 方向上投影的乘积，或 的长度与 在 方向上投影的乘积.abaababbbabacosbcosb温故知新温故知新探究
3、探究已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示ab?a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,ab = (x1i+y1j) (x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2 = x1x2+y1y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同i i =_, j j=_, i j=_, j i =_.1100故两个向量的数量积等于它们对应故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即坐标的乘积的和。即.2121yyxxba 根据平面向量数量积的坐标根据
4、平面向量数量积的坐标表示，向量的表示，向量的数量积的运算数量积的运算可可转转化为化为向量的向量的坐标运算。坐标运算。),y(xb),y(xa2211(5, 7),( 6, 4),.设求aba b 例例1：求值求值 121212125,6;7,4.567430282.xxyya bx xy y 所以解：区分好横纵坐标，区分好横纵坐标，准确代入数值，准确代入数值，精心计算精心计算.思考：思考：如何用向量的坐标来表示两向量数量积的如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？相关性质？坐标表示为：坐标表示为：(1)(1)垂直的充要条件：垂直的充要条件：1122,ax ybxy设非零向量则12120.
5、abx xy y0.aba b (2)(2)求模公式：求模公式：|.aa a 坐标表示为：坐标表示为：( , )设，则|=ax ya22.xy222121()() .xxyy特别地：特别地：A B|AB| d， 两点间的距离11222121A( ,) B,AB, 若， (),则 x yx yxx yy坐标表示为：坐标表示为：cos| a ba b(3)(3)夹角公式：夹角公式：1122( ,),(,),ax ybxyab设非零向量与 的夹角为 ，则121222221122cosx xy yxyxy例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，
6、试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形) 1 , 1 () 23 , 12(AB:证明) 3 , 3() 25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB思考：还有思考：还有其他证明方其他证明方法吗？法吗？向量的数量向量的数量积是否为零积是否为零, ,是判断相应是判断相应的两条线段的两条线段或直线是否或直线是否垂直的重要垂直的重要方法之一方法之一ABCACABCBCABCABCABCBA求满足、已知平面上三点例, 5, 4, 3,3CBA 25953351654540043321321所以，原式，
7、则；分别为的夹角与；与；与解：设向量,)(cosABCAABCA,)(cosCABCCABCcosBCABBCABABCACABCBCAB解解: :建立如图所示平面直角坐标系建立如图所示平面直角坐标系, ,则则A(0,3),B(0,0)C(4,0),A(0,3),B(0,0)C(4,0),(0,3),(4,0),( 4,3),04( 3)00,4( 4)0316,( 4)03( 3)9,25ABBCCAABBCBC CACAAB 原 式(B)C(4,0)OxyA(0,3)ABCACABCBCABCABCABCBA求满足、已知平面上三点例, 5, 4, 3,3例例4 4 已知已知 ， ，求向量，
8、求向量 与与 的的夹角的余弦值夹角的余弦值. . 3,2a 1, 1b ab22223 12126cos,26321126.26abab 设向量 与 的夹角为 ，则即向量 与 夹角的余弦值为解： 1 、e1，e2不共线，不共线，a=e1-2e2 ，b=3e14e2， a 与与 b是否共线。是否共线。解：解：1/3-2/1/3-2/（-4-4） aa与与b b不共线。不共线。巩固练习巩固练习2. 已知单位向量121cos,3， 的夹角为 ，且=若向量ee1232,=则aeea33.已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在
9、a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为4cos| |5a bab 12|cos|5a bab |cos4|a bba 所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是4.4.已知向量已知向量（）求（）求 与与 的夹角的夹角的余弦值的余弦值. .（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求的值的值. .(4,3),( 1,2)ab abab2ab14 ( 1)3 22, a b（）因为解：22| |( 1)25,b225c o s=.2 5|55abab所 以22|435,a又(2)(4,32)ab2(7,8
10、)ab()(2)abab7(4)8(32)05294、已知向量、已知向量 （）求（）求 与与 的夹角的余弦值；的夹角的余弦值；（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求 的的值值.(4,3),( 1,2)ab abab2ab120 | 4,| 2,|;|34 |.abababab5.已知 与 的夹角为， 求：解：解：222221|()242 4 2 ()222 3. ababaa bb222|34 |(34 )(3 )2(3 ) (4 )(4 )19 1624 4 2 () 16 44 19.2 ababaabb理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：1.1.数量积的坐标表示数量积的坐标表示1212a bx xy y 2.2.向量坐标表示的求模公式向量坐标表示的求模公式222221111或axyaxy3.3.平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式221212AB) xxyy（4.4.两向量夹角的余弦两向量夹角的余弦5.5.向量垂直的判定向量垂直的判定12120abx xy y121222221122cosx xy yxyxy
