1、8.6.2直线与平面垂直（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面成角的概念；2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.二、教学重难点重点：1.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解难点：1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”2.求直线和平面所成角时
2、，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度.三、教学过程1.复习引入回顾直线和平面的位置关系如下图1：图1【设计意图】由复习旧知可以知道，直线与平面垂直是直线与平面相交关系中的一种，为后续特别是线面角作铺垫.2.观察归纳，形成概念2.1创设情境，引发思考问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的垂直关系，还有书脊与桌面的垂直关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体.然后再应到学生概括出定义.2.2归纳概括，得出定义问题2：能否把直观的形象数学化？
3、用确切的数学语言刻画直线与平面垂直思考： （1）书脊AB与桌面上经过B点的直线有什么关系？ （2）书脊AB与桌面上不过B点的直线有什么关系？ （3）书脊AB与桌面上的任意直线有什么关系？图2追问1：怎么理解“任意”？结论：直线AB垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？直线与平面垂直的定义：如果一条直线l垂直于平面 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 互相垂直.记作：图4【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线
4、垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密.2.3知识拓展:图3点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面，垂足为O，垂线段PO长度就是点P到平面的距离.【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫.【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念.3 实验探究，得出定理3.1 简单探究，得到猜想问题:3： 如果直线l与平面内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面互相垂直?【活动预设】
5、师生共同探讨以下问题：图4（1） 一条直线图4（2） 无数条直线（3） 两条平行直线（4） 两条相交直线【设计意图】结合图例，让学生感受直线与平面垂直需要两条相交直线，得到猜想，找到一种替代定义去证明线面垂直的办法.3.2 动手操作，验证猜想问题4：为什么两条相交直线可以？怎么去验证这件事情？【活动预设】教师提出问题，并引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;(1) 折痕AD与桌面垂直吗？(2) 如何翻折才能得到使折痕AD与桌面垂直？为什么？这样就初步验证了刚才的猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线图
6、5都垂直，这条直线就和这个平面垂直.追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线图4图4图4图4都垂直，这条直线就和这个平面垂直？可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感
7、知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程.问题5：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面的判定定理.【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.4 巩固练习，典例剖析例1（课本例3）求证：如果两条平行线中的一条直线垂直与一个平面，那么另一条直线也垂直与这个平面.追问（1）：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？追问（2）：结合所画图形，你认为该如何证明此问题？【活动预设】教师要求学生写出已知求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理，只需证明另一条直线垂直于这
8、个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造两条相交直线，既需要做辅助线.可以请一名同学板书，教师反馈，完成证明.追问（3）：你还有不同证明方法吗?可能的答案 ：尝试用定义证明.【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性.5 直线与平面所成的角及其应用问题6：直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.当它们不垂直时，如图，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？【活
9、动预设】教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生发现，斜线与平面相交位置的不同在于他们相对于平面的“倾斜程度不同”，进而给出直线与平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.图6【设计意图】引出直线与平面所成角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念.例2（课本例4）：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角.追问：有直线与平面成角的概念知，应该先找到A1B在平面A1DCB1内的射影，怎样找到呢？【活动预设】教师引导学生对题目进行分析，从要解决的问题出发，要求直线和平面的成角，要先找到这条直线在平面上的射影；进而要找到这个平面的垂线，再利用直线与平面垂直的判定定理，问题图7可以解决.然后书写证明过程，规范解题.【设计意图】 通过例题教学，巩固直线和平面所成角的概念，以及直线与平面垂直的判定定理.结合分析题目，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成解决问题的一般思路,规范书写.6 归纳小结，布置作业问题：本节课你学到了什么？【活动预设】教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，主要从下列2点进行总结：（1）知识内容（2）数学思想方法【设计意图】 通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决.布置作业：教材152页练习.
