1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 6 讲 函数的奇偶性与周期性 解密考纲 本考点考查函数的奇偶性 、 周期性 ， 单独命题多以选择题的形式呈现 ， 排在中间靠前的位置 ， 题目难度系数属于中等或中等偏上；另外 ， 函数的性质也常常与三角函数 、向量 、 不等式 、 导数等相结合出解答题 ， 有一定难度 一 、 选择题 1 下列函数是奇函数的是 ( A ) A f(x) x|x| B f(x) lg x C f(x) 2x 2 x D f(x) x3 1 解析 对于 B 项 ， f(x) lg x 的定义域是 x0， 所以不是奇函数 ， 所以 B 项错；对于 C项 ， f( x)
2、2 x 2x f(x)， f(x)是偶函数 ， 所以 C 项错；对于 D 项 ， f(x) x3 1 定义域为 R， 但图象不过原点 ， 所以 f(x)是非奇非偶函数 ， 所以 D 项错只有 A 项满足定义域关于原点对称 ， 并且 f( x) f(x)， 是奇函数 2 已知 f(x) 3ax2 bx 5a b 是偶函数 ， 且其定义域为 6a 1， a， 则 a b ( A ) A 17 B 1 C 1 D 7 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称 ， 所以 6a 1 a 0， 所以 a 17.又因为 f(x)为偶函数 ， 所以 3a( x)2 bx 5a b 3ax2 bx 5a b， 得
3、b 0， 所以 a b 17.故选 A 3 已知 f(x)在 R 上是奇函数 ， 且满足 f(x 4) f(x)， 当 x (0,2)时 ， f(x) 2x2， 则f(2 019) ( A ) A 2 B 2 C 98 D 98 解析 因为 f(x 4) f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 ， 所以 f(2 019) f(5044 3) f(3) f( 1) 又 f(x)为奇函数 ， 所以 f( 1) f(1) 21 2 2， 即 f(2 019) 2. 4 已知函数 y f(x)是奇函数 ， 当 x0 时 ， f(x) lg x， 则 f? ?f? ?1100 ( D )
4、A 1lg 2 B 1lg 2 C lg 2 D lg 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 因为当 x0 时 ， f(x) lg x， 所以 f? ?1100 lg 1100 2， 则 f? ?f? ?1100 f( 2)， 因为函数 y f(x)是奇函数 ， 所以 f? ?f? ?1100 f(2) lg 2. 5 已知偶函数 y f(x)满足 f(x 5) f(x 5)， 且 0 x 5 时 ， f(x) x2 4x， 则 f(2 018) ( B ) A 3 B 4 C 4 D 12 解析 f(x 5) f(x 5)， f(x 10) f(x)， f(x)为周期函数 ， 且周期为
5、 10， f(2 018) f(20210 2) f( 2) f(2) 22 42 4.故选 B 6 已知 f(x)是偶函数 ， 且 f(x)在 0， ) 上是增函数 ， 如果 f(ax 1) f(x 2)在 x ? ?12， 1 时恒成立 ， 则实 数 a 的取值范围是 ( D ) A 2,1 B 5,0 C 5,1 D 2,0 解析 因为 f(x)是偶函数 ， 在 0， ) 上是增函数 ， 如果 f(ax 1) f(x 2)在 x?12， 1 时恒成立 ， 则 ax 1| x 2|， 即 x 2 ax 12 x.由 ax 12 x， 得 ax 1 x，a 1x 1， 而 1x 1 在 x
6、1 时取得最小值 0， 故 a0. 同理 ， x 2 ax 1 时 ， a 2， 所以a 的取值范围是 2,0 二 、 填空题 7 (2018 河南豫西南部分示范性高中期中 )已知奇函数 f(x)? 2x a， x 0，4 2 x， x 0， 则实数 a _ 4_. 解析 因为函数 f(x)为奇函数 ， 则 f( x) f(x)， 则 f( 1) f(1)， 所以 4 21 (21 a)， 解得 a 4. 8 设定义在 2,2上的偶函数 f(x)在区间 0,2上单调递减 ， 若 f(1 m)|m|， 21 m2 ， 2 m2 ，解得 1 m12. 9 (2017 山东卷 )已知 f(x)是定义
7、在 R 上的偶函数 ， 且 f(x 4) f(x 2) 若当 x 3,0时 ， f(x) 6 x， 则 f(919) _6_. 解析 f(x 4) f(x 2)， f(x)的周期为 6， 919 1536 1， f(919)f(1) 又 f(x)为偶函数 ， f(919) f(1) f( 1) 6. 三 、 解答题 10 若 f(x)， g(x)是定义在 R 上的函数 ， f(x)是奇函数 ， g(x)是偶函数 ， 且 f(x) g(x) 1x2 x 1， 求 f(x)的表达式 解析 在 f(x) g(x) 1x2 x 1中用 x 代替 x， 得 f( x) g( x) 1 x 2 x 1.
8、又 f(x)是奇函数 ， g(x)是偶函数 ， 所以 f(x) g(x) 1x2 x 1， 联立方程? f x g x 1x2 x 1， f x g x 1x2 x 1，两式相减得 f(x) 12? ?1x2 x 1 1x2 x 1 xx4 x2 1. 11 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2， 且当 x (0,1)时 ， f(x) 2x4x 1. (1)求 f(1)和 f( 1)的值； (2)求 f(x)在 1,1上的解析式 解析 (1) f(x)是周期为 2 的奇函数 ， f(1) f(1 2) f( 1) f(1)， f(1) 0， f( 1) 0. (2)由题意知 ，
9、 f(0) 0.当 x ( 1,0)时 ， x (0,1) 由 f(x)是奇函数 ， 得 f(x) f( x) 2 x4 x 12x4x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上 ， 在 1,1上 ， f(x)? 2x4x 1， x ， ， 2x4x 1， x 1， ，0， x 1， 0， 1.12 函数 f(x)的定义域为 D x|x0 ， 且满足对于任意 x1， x2 D， 有 f(x1 x2) f(x1) f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4) 1， f(x 1)2， 且 f(x)在 (0， ) 上是增函数 ， 求 x
10、 的取值范围 解析 (1)因为对于任意 x1， x2 D， 有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)， 所以令 x1 x2 1， 得 f(1) 2f(1)， 所以 f(1) 0. (2)f(x)为偶函数 ， 证明如下： f(x)定义域关于原点对称 ， 令 x1 x2 1， 有 f(1) f( 1) f( 1)， 所以 f( 1) 12f(1) 0. 令 x1 1， x2 x 有 f( x) f( 1) f(x)， 所以 f( x) f(x)， 所以 f(x)为偶函数 (3)依题设有 f(44) f(4) f(4) 2， 由 (2)知 ， f(x)是偶函数 ， 所以 f(x 1)2， 等价于 f(|x 1|)f(16) 又 f(x)在 (0， ) 上是增函数 ， 所以 0|x 1|16， 解得 15x17 且 x1 ， 所以 x 的取值范围是 ( 15,1) (1,17)
