1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 三十八 合情推理与演绎推理 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.下列结论正确的个数为 ( ) (1)归纳推理得到的结论不一定正确 ,类比推理得到的结论一定正确 . (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 ,这是一种合情推理 . (3)“所有 3的倍数都是 9的倍数 ,某数 m是 3的倍数 ,则 m一定是 9的倍数” ,这是三段论推理 ,但其结论是错误的 . (4)在平面内 ,若两个正三角形的边长比为 12, 则它们的面积比为 14. 类似地 ,在空间中 ,若两个正四面体的棱长比为 12, 则它们的体积比为 18. A.0 B.
2、1 C.2 D.3 【解析】 选 D.(1)不正确 ,(2)(3)(4)正确 . 2.(2018武汉模拟 )演绎推理“因为对数函数 y=logax(a0 且 a 1)是增函数 ,而函数 y=lo x是对数函数 ,所以 y=lo x是增函数”所得结论错误的原因是 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误 【解析】 选 A.因为当 a1时 ,y=logax在定义域内单调递增 ,当 00,a n的通项公式是 _. 【解析】 a1=2,a2=2 + 2+(2- ) 2= 2+22, a3= ( 2+22)+ 3+(2- ) 22=2 3+23, a4= (2
3、3+23)+ 4+(2- ) 23=3 4+24. 由此猜想出数列 an的通项公式为 an=(n-1) n+2n. 答案 :an=(n-1) n+2n 8. (2018沈阳模拟 )某种平面分形图如图所示 ,一级分形图是由一点出发的三条线段 ,长度相等 ,两两夹角为 120; 二 级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来 的线段 ,且这两条线段与原线段两两夹角为 120, ? ,依此规律得到 n级 分形图 . 则 n级分形图中共有 _条线段 . 【解析】 由题图知 ,一级分形图有 3=32 -3条线段 ,二级分形图有 9=32 2-3条线段 ,三级分形图中有21=32 3-3
4、条线段 ,按此规律 n级分形图中的线段条数为 32 n-3(n N*). 答案 :32 n-3(n N*) 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.(2018广州模拟 )已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an bn+1,bn+1= (n N*)且点 P1的坐标为 (1,-1).导学号 12560617 (1)求过点 P1,P2的直线 l的 方程 . (2)试用数学归纳法证明 :对于 n N*,点 Pn都在 (1)中的直线 l上 . 【解析】 (1)由 P1的坐标为 (1,-1)知 a1=1,b1=-1. 所以 b2= = ,a2=a1 b2= . 所以点 P2的坐标为 .
5、=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以直线 l的方程为 2x+y=1. (2)当 n=1时 , 2a1+b1=2 1+(-1)=1成立 . 假设 n=k(k N*,k 1)时 ,2ak+bk=1成立 , 则 2ak+1+bk+1=2ak bk+1+bk+1 = (2ak+1) = = =1, 所以当 n=k+1时 ,命题也成立 . 由知 ,对 n N*,都有 2an+bn=1, 即点 Pn都在直线 l上 . 在锐角三角形 ABC中 ,求证 :sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 【证明】 因为 ABC为锐角三角形 , 所以 A+B ,即 A -B, 又因为 y
6、=sin x在 上是增函数 , 所以 sin Asin =cos B, 同理可得 sin Bcos C,sin Ccos A, 故 sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 10.在 Rt ABC中 ,AB AC,AD BC于点 D,求证 : = + ,那么 在四面体 A-BCD中 ,类比上述结论 ,你能得到怎样的猜想 ,并说明理由 . 【解析】 如图所示 ,由射影定理得 AD2=BD DC, =【 ;精品教育资源文库 】 = AB2=BD BC, AC2=BC DC, 所以 = = = . 又 BC2=AB2+AC2, 所以 = = + . 猜想 ,四面体 A-
7、BCD中 ,AB,AC,AD两两垂直 ,AE平面 BCD,则 = + + . 证明 :如图 ,连接 BE并延长交 CD于 F,连接 AF. 因为 AB AC,AB AD,AC AD=A, AC?平面 ACD,AD?平面 ACD, 所以 AB平面 ACD. 因为 AF?平 面 ACD,所以 AB AF. 在 Rt ABF中 ,AE BF, 所以 = + . =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 Rt ACD中 ,AF CD,所以 = + , 所以 = + + . 1.(5分 )若大前提是 :任何实数的平方都大于 0,小前提是 :a R,结论是 :a20,那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提
8、B.小前提 C.推理过程 D.没 有出错 【解析】 选 A.要分析一个演绎推理是否正确 ,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是 否都正确 ,只有这几个方面都正确 ,才能得到这个演绎推理正确 .本题中大前提 :任何实数的平方都大 于 0,是不正确的 . 2.(5分 )如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形 ,照此规律闪烁 ,下一个呈现出来的图形是 ( ) 【解析】 选 A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知 ,下一个呈现出来的图形是 A. 【 变式备选】 如图所示是由长为 1的小木棒拼成的图形 ,其中第 n个图形由 n个正方形组 成 : =【 ;
9、精品教育资源文库 】 = 观察图形 ,根据第 1个、第 2个、第 3个、第 4个图形中小木棒的根数 ,得出第 n个图形中 ,小木棒的根数为 _. 【解析】 观察题干中图形可得 ,第 1个、第 2个、第 3个、第 4个图形中小木棒的根数分别为 4,7,10,13,而 4=3 1+1,7=3 2+1,10=3 3+1,13=3 4+1,由归 纳推理得 ,第 n个图形中 ,小木棒的根数为 3n+1. 答案 :3n+1 3.(5分 )(2018合肥模拟 )已知点 A(x1, ),B(x2, )是函数 y=ax(a1)的图象上任意不同两点 ,依据图象可知 ,线段 AB总是位于 A,B两点之间函数图象的上
10、方 ,因此有结论 成立 .运用类比思想方法可知 ,若点 A(x1,sin x1), B(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x (0,) 的图象上 的不同两点 ,则类似地有 _成立 . 【解析】 运用类比思想与数形结合思想 ,可知 y=sin x(x (0, )的图象是上凸的 ,因此线段 AB的中点的纵坐标 总是小于函数 y=sin x(x (0, )图象上的点 ( ,sin )的纵坐标 ,即 sin 成立 . 答案 : sin 4.(12分 )设 f(x)= ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论 ,并给出证明 . 导学号
11、12560620 【解析】 f(0)+f(1)= + = + =【 ;精品教育资源文库 】 = = + = , 同理可得 f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= . 由此猜想 f(x)+f(1-x)= . 证明 :f(x)+f(1-x)= + = + = + = = . 5.(13分 )某同学在一次研究性学习中发现 ,以下五个式子的值都等于同一个常数 : 导学号 12560621 sin 213+cos 217 -sin 13cos 17; sin 215+cos 215 -sin 15cos 15; sin 218+cos 212 -sin 18cos 12; sin 2(-18)
12、+cos 248 -sin(-18)cos 48; sin 2(-25)+cos 255 -sin(-25)cos 55. (1)试从上述五个式子中选择一个 ,求出这个常数 . (2)根据 (1)的计算结果 ,将该同学的发现推广为三角恒等式 ,并证明你的结论 . 【解析】 (1)选择式 (也可选择其他式子 ),计算如下 : sin215 +cos215 -sin 15 cos 15 =1- sin 30 =【 ;精品教育资源文库 】 = =1- = . (2)三角恒等式为 sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - )= . 证明如下 : sin2 +cos2(30 - )-
13、sin cos(30 - ) =sin2 +(cos 30 cos +sin 30 sin )2-sin (cos 30 cos +sin 30 sin )=sin2 + cos2 + sin cos + sin2 - sin cos - sin2 = sin2 + cos2 = . 【 一题多解】 解答本题 (2)还有如下解法 :三角恒等式为 sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - )= . 证明如下 : sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - ) = + -sin (cos 30 cos +sin 30 sin )= - cos 2 + + (cos 60 cos 2 + sin 60 sin 2 )- sin cos - sin2 = - cos 2 + + cos2 + sin 2 - sin 2 - (1-cos 2 )=1- cos 2 - + cos 2 = .
