1、5.1.2数据的数字特征数据的数字特征一二三四五一、最值最值的定义:一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.一二三四五二、平均数1.填空.(1)如果给定的一组数是x1,x2,xn,则这组数的平均数为一二三四五2.做一做:一组数据x1,x2,xn的平均数为3,则2x1,2x2,2xn的平均数为()A.3B.6C.5D.2答案:B一二三四五三、中位数、百分位数1.填空.(1)中位数:如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排
2、列后为x1,x2,x2n,则称 为这组数的中位数.(2)百分位数:一组数的p%(p(0,100)分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.直观地说,一组数的p%分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于p%位置的数.一二三四五2.如何确定p%分位数?提示:(1)p%分位数的确定方法:设一组数据按照从小到大排列后为x1,x2,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取 为p%分位数;如果i是整数,取 为p%分位数.特别地,规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).(2)
3、p%分位数可能不唯一,正因为如此,各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异.(3)当数据个数较多时,如果仅仅知道中位数,是不足以了解这组数的分布特点的,这时可以用百分位数来了解数据的分布特点.一二三四五3.做一做:为了解某种轮胎的性能,随机抽取了8个进行测试,其最远里程数(单位:1 000 km)为96,112,97,108,99,104,86,98,则它们的中位数是()A.100 B.99C.98.5D.98答案:C解析:从小到大排列此数据为86,96,97,98,99,104,108,112,中间两个数是98,99,所以中位数为(98+99)2=98.5(km).故选C.一二三四五四、众
4、数1.填空.一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.2.众数与中位数相同吗?提示:(1)中位数和众数不同,中位数不一定在这组数据中,而众数必定在该组数据中.(2)众数是一组数据中出现次数最多的数,有时众数在一组数中有好几个.简单地说,就是一组数据中占比例最多的那个数.在统计分布上,众数是最具有明显集中趋势的数值,它代表数据的一般水平(众数可以不存在或多于一个).一二三四五五、极差、方差与标准差1.填空.(1)极差:一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.(2)方差:如果x1,x2,x3,xn的平均数为 ,则方差可用求和符号表示为(3)
5、标准差:方差的算术平方根称为标准差.(4)方差的性质:如果a,b是常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2.一二三四五2.标准差有什么意义?提示:标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.3.做一做:某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则:(1)平均命中环数为; (2)命中环数的标准差为.答案:(1)7(2)2(2)s2=(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-
6、7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4,s=2.探究一探究二探究三探究四当堂检测求最值与极差求最值与极差例例1给出下列一组数据:18,19,20,20,21,22,23,31,31,35.求出这组数据的最大值,最小值及极差.分析:根据最值与极差的定义求解即可.解:最大值为35,最小值为18,极差为35-18=17.变式训练变式训练1求数据11,17,19,21,22,24,24,30,30,32的最大值、最小值与极差.解:最大值为32,最小值为11,极差为21.探究一探究二探究三探究四当堂检测求平均数、众数与中位数求平均数、众数与中位数
7、例例2求出例1中数据的平均数、众数与中位数.分析:根据平均数、众数与中位数的定义求解.反思感悟反思感悟(1)求平均数时要注意数据的个数,不要重计或漏计.(2)求中位数时一定要先对数据按大小排序,若最中间有两个数据,则中位数是这两个数据的平均数.(3)若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.探究一探究二探究三探究四当堂检测延伸探究延伸探究求出变式训练1中数据的众数与中位数.解:众数为24与30.中位数为 (22+24)=23.探究一探究二探究三探究四当堂检测求百分位数求百分位数例例3求出例1中数据的45%与80%
8、的分位数.点拨按照百分位数的定义求解.解:因为数据个数为10,且1045%=4.5,因此该组数据的45%分位数为x5=21,又1080%=8,所以该组数据的80%的分位数为延伸探究延伸探究求出变式训练1中数据的60%分位数.探究一探究二探究三探究四当堂检测方差和标准差的计算及应用方差和标准差的计算及应用例例4甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中抽取6件测量数据为:甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.分析:探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟反思
9、感悟在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均数的离散程度(即方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练变式训练2某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下:求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.探究一探究二探究三探究四当堂检测因此,甲与乙的成绩的平均数相同,由于乙的成绩的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选乙参加竞赛比较合适.探究一探究二探究三探
10、究四当堂检测1.有一批种子,对于一颗种子来说,它可能1天发芽,也可能2天发芽从中抽取98颗种子,下表是不同发芽天数的种子数的记录:统计每颗种子发芽天数得到一组数据,则估计这批种子发芽天数的中位数是()答案:B解析:将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3,所以中位数为探究一探究二探究三探究四当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四当堂检测3.数据x1,x2,x7的平均数为7,标准差为3,则数据3x1-2,3x2-2,3x7-2的方差和平均数分别为()A.81,19 B.19,81C.27,19 D.9,19答案:A解析:根据方差和平
11、均数的性质可得3x1-2,3x2-2,3x7-2的方差为3232=81,平均数为37-2=19.4.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是.答案:100解析:新数据的方差为524=100.探究一探究二探究三探究四当堂检测5.一箱方便面共有50袋,用随机抽样方法从中抽取了10袋,并称其质量(单位:g)结果为:60.5,61,60,60,61.5,59.5,59.5,58,60,60.(1)指出总体、个体、样本、样本容量;(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数;(3)求样本数据的方差.解:(1)总体是这50袋方便面的质量,个体是这一箱方便面中每一袋方便面的质量,样本是抽取的10袋方便面的质量,样本容量为10.(2)这组样本数据的众数是60,中位数为60,平均数为 (60.5+61+60+60+61.5+59.5+59.5+58+60+60)=60.(3)样本数据的方差为s2=(60.5-60)2+(61-60)2+(60-60)2+(60-60)2+(61.5-60)2+(59.5-60)2+(59.5-60)2+(58-60)2+(60-60)2+(60-60)2=0.8.
