1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十二）空间角 3 类型 线线角、线面角、二面角 1如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是棱 AB 的中点， BC 1， AA1 3. (1)求证： BC1 平面 A1DC； (2)求二面角 DA1CA 的正弦值 解： (1)证明：过点 A 作 AO BC 交 BC 于点 O，过点 O 作 OE BC 交 B1C1于 E. 因为平面 ABC 平面 CBB1C1，所以 AO 平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点， OB， OE， OA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系因为 BC 1， AA1 3，
2、ABC 是等边三角形，所以 O 为 BC 的中点 则 O(0,0,0)， A? ?0， 0， 32 ， B? ?12， 0， 0 ， C? ? 12， 0， 0 ， D? ?14， 0， 34 ， A1? ?0， 3， 32 ，C1? ? 12， 3， 0 ， CD ? ?34， 0， 34 ， A1C ? ? 12， 3， 32 ， 设平面 A1DC 的一个法向量为 n1 (x1， y1， z1)， 则? n1 CD 0，n1 A1C 0，即? 34x1 34 z1 0， 12x1 3y1 32 z1 0.取 x1 3，得 z1 3， y1 1， 平面 A1DC 的一个法向量为 n1 ( 3
3、， 1， 3) 又 BC1 ( 1， 3， 0)， BC1 n1 0， 又 BC1?平面 A1DC， BC1 平面 A1DC. (2)设平面 ACA1的一个法向量为 n2 (x2， y2， z2)， AA1 (0， 3， 0)， 则? n2 AA1 0，n2 A1C 0，即? 3y2 0， 12x2 3y2 32 z2 0，取 x2 3，得 y2 0， z2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 平面 ACA1的一个法向量为 n2 ( 3， 0， 1) 则 cos n1， n2 6132 3 1313 ， 设二面角 DA1CA 的大小为 ， cos 3 1313 ， sin 2 1313 ，
4、 故二面角 DA1CA 的正弦值为 2 1313 . 2 (2017 全国卷 )如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC 12AD， BAD ABC 90 ， E是 PD 的中点 (1)证明：直线 CE 平面 PAB； (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 MABD 的余弦值 解： (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF. 因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD， EF 12AD. 由 BAD ABC 90 ，得 BC AD， 又 BC 12AD，所以 EF 綊 BC，
5、所以四边形 BCEF 是平行四边形， CE BF， 又 CE?平面 PAB， BF? 平面 PAB， 故 CE 平面 PAB. (2)由已知得 BA AD，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向， | AB |为单 位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则A(0,0,0)， B(1， 0,0)， C(1,1,0)， P(0， 1， 3)， PC (1,0， 3)，AB (1,0,0) 设 M(x， y， z)(0x1)， 则 BM (x 1， y， z)， PM (x， y 1， z 3) 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45 ， 而 n (0,0,1)是底面
6、ABCD 的法向量， 所以 |cos BM ， n | sin 45 ， |z|x 2 y2 z2 22 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 (x 1)2 y2 z2 0. 又 M 在棱 PC 上，设 PM PC ， 则 x ， y 1， z 3 3 . 由 解得? x 1 22 ，y 1，z 62(舍去 )，或? x 1 22 ，y 1，z 62 ，所以 M? ?1 22 ， 1， 62 ，从而 AM ? ?1 22 ， 1， 62 . 设 m (x0， y0， z0)是平面 ABM 的法向量， 则? m AM 0，m AB 0，即 ? 2 x0 2y0 6z0 0，x0 0，所以 可
7、取 m (0， 6， 2) 于是 cos m， n m n|m|n| 105 . 由图知二面角 MABD 为锐角， 因此二面角 MABD 的余弦值为 105 . 3.如图，在三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， BAC 90. 点 D， E，N 分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC 4， AB 2. (1)求证： MN 平面 BDE； (2)求二面角 CEMN 的正弦值 ； (3)已知点 H 在棱 PA 上，且 直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 721，求线段 AH 的长 解：由题意知， AB， AC， AP 两两垂直，故以 A 为
8、坐标原点，分别以 AB ， AC ， AP 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得 A(0， 0,0)， B(2， 0,0)， C(0,4,0)，P(0,0,4)， D(0,0,2)， E(0,2,2)， M(0,0,1)， N(1,2,0) (1)证明 ： DE (0,2,0)， DB (2,0， 2) 设 n (x， y， z)为平面 BDE 的法向量， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? n DE 0，n DB 0，即? 2y 0，2x 2z 0. 不妨取 z 1，可得 n (1,0,1) 又 MN (1,2， 1)，可得 MN n 0. 因为
9、 MN?平面 BDE，所以 MN 平面 BDE. (2)易知 n1 (1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量 设 n2 (x1， y1， z1)为平面 EMN 的法向量， 又 EM (0， 2， 1)， MN (1,2， 1)， 则? n2 EM 0，n2 MN 0，即? 2y1 z1 0，x1 2y1 z1 0. 不妨取 y1 1，可得 n2 ( 4,1， 2) 因此有 cos n1， n2 n1 n2|n1|n2| 421， 于是 sin n1， n2 10521 . 所以二面角 CEMN 的正弦值为 10521 . (3)依题意，设 AH h(0 h4) ，则 H(0,0， h)， 进
10、而可得 NH ( 1， 2， h)， BE ( 2,2,2) 由已知，得 |cos NH ， BE | | NH BE | NH | BE | |2h 2|h2 52 3 721， 整理得 10h2 21h 8 0，解得 h 85或 h 12. 所以线段 AH 的长为 85或 12. 4.如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， ABC 45 ， AD AP 2， AB DP 2 2， E 为 CD的中点，点 F 在线段 PB 上 (1)求证： AD PC； (2)试确定点 F 的位置，使得直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平
11、面 ABCD 所成的=【 ;精品教育资源文库 】 = 角相等 解： (1)证明：在平行四边形 ABCD 中，连接 AC， 因为 AB 2 2， BC 2， ABC 45 ， 由余弦定理得 AC2 8 4 22 22cos 45 4， 解得 AC 2，所以 AC2 BC2 AB2， 所以 ACB 90 ，即 BC AC. 又 AD BC，所以 AD AC. 又 AD AP 2， DP 2 2， 所以 AD2 AP2 DP2，所以 AP AD， 又 AP AC A，所以 AD 平面 PAC，所以 AD PC. (2)因为侧面 PAD 底面 ABCD， PA AD，所以 PA 底面 ABCD，所以直
12、线 AC， AD， AP 两两互相垂直，以 A 为坐标原点， AC， AD， AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 D( 2,0,0)， C(0,2,0)， B(2,2,0)， E( 1,1,0)， P(0,0,2)， 所以 PC (0,2， 2)， PD ( 2,0， 2)， PB (2,2， 2)，设 PFPB ( 0,1)， 则 PF (2 ， 2 ， 2 )， F(2 ， 2 ， 2 2)， 所以 EF (2 1,2 1， 2 2)， 易得平面 ABCD 的法向量 m (0,0,1) 设平面 PDC 的法向量为 n (x， y，
13、z)， 则? n PC 0，n PD 0，即? 2y 2z 0， 2x 2z 0， 令 x 1，得 n (1， 1， 1) 因为直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所成的角相等， 所以 |cos EF ， m | |cos EF ， n |， 即 | EF m| EF | m| | EF n| EF | n|，所以 | 2 2| ? ?2 3 ， 即 3| 1| | |，解得 3 32 ，所以 PFPB 3 32 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFQH 材料切割成三棱锥 HA
14、CF. (1)若点 M， N， K 分别是棱 HA， HC， HF 的中点，点 G 是 NK 上的任意一点，求证： MG平面 ACF； (2)已知原长方体材料中， AB 2， AD 3， DH 1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 ，再根据公式 hAHsin 求三棱锥 HACF 的高 h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高 解： (1)证明： HM MA， HN NC， HK KF， MK AF， MN AC. MK?平面 ACF， AF? 平面 ACF， MK 平面 ACF，同理可证 MN 平面 ACF， MK MN
15、M， MN?平面 MNK， MK? 平面 MNK， 平面 MNK 平面 ACF. 又 MG? 平面 MNK， MG 平面 ACF. (2)以 D 为坐标原点， DA， DC， DH 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz.则 A(3， 0,0)， C(0,2,0)，F(3,2,1)， H(0,0， 1)， AC ( 3,2,0)， AF (0,2,1)， AH (3,0,1)， 设平面 ACF 的一个法向量 n (x， y， z)， 则? n AC 0，n AF 0，即? 3x 2y 0，2y z 0， 令 y 3，则 n (2,3， 6)， sin |cos AH ， n | | AH n| AH |n| 127 10 6 1035 ， 三棱锥
