1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一单元 空间位置关系 教材复习课 “ 空间位置关系 ” 相关基础知识一课过 4 个公理 过双基 1 平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过 不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条 相交 直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 平行 直线有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有 一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2平行公理 公理 4： 平行于 同一条直线 的两条直线互相
2、平行 小题速通 1以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则点 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 B 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所 以 正确 从条件看出两平面有三个公共点A， B， C，但是若 A， B， C 共线，则结论不正确； 不正确； 不正确，因为此时所得的四边形的四
3、条边可以不在一个平面上，如空间四边形 2下列命题中，真命题是 ( ) A空间不同三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面 C两组对边相等的四边形是平行四边形 D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 D A 是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面； B 不正确，两两相交的三条直线不一定共面； C 不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形； D 正确 ，故选D. 3三个不同的平面可能把空间分成 _部分 (写出所有可能的情况 ) 解析：如图 (1)，可分成四部分 (互相平行 )；如图 (2)(3)，可分成六部分 (两种情况 )；如
4、图 (4)，可分成七部分；如图 (5)，可分成八部分 答案： 4,6,7,8 清易错 1三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面 2判断由所给元素 (点或直线 )确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面 1如图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是 ( ) 解析：选 D A， B， C 图中四点一定共面， D 中四点不共面 2过同一点的 4 条直线中，任意 3 条都不在同一平面内，则这 4 条直线确定平面的个数是 _ 解析：设四条直线为 a， b， c， d，则这四条直线中每两条都
5、确定一个平面，因此， a 与b， a 与 c， a 与 d， b 与 c， b 与 d， c 与 d 都分别确定一个平面，共 6 个平面 答案： 6 空间点、线、面的位置关系 过双基 1 空间直线间的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 ? 共面直线? 平行相交异面直线：不同在 任何 一个平面内(2)异面直线所成的角 =【 ;精品教育资源文库 】 = 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a 与b 所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) 范围： ? ?0， 2 . (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行
6、，那么这两个角 相等或互补 2空间中直线与平面、平面与平面的位 置关系 (1)直线与平面的位置关系有 相交 、 平行 、 在平面内 三种情况 (2)平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况 小题速通 1若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( ) A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D平行、相交或异面都有可能 解析：选 D 当 a， b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交 2若平面 上存在不同的三点到平面 的距离相等且不为零，则平面 与平面 的位置关系为 ( ) A平行 B相交 C平行或重合
7、D平行或相交 解析：选 D 当两个平面平行时，平面 上存在无数多个点到平面 的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面 的距离相等且不为零故选 D. 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线 AC 和 MN所成的角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 解析：选 C 连接 AD1，则 AD1与 MN 平行所以 D1AC 为异面直线 AC 和 MN 所成的角的平面角因为 D1AC 是正三角形，所以 D1AC 60. 4在正四面体 ABCD 中， M， N 分别是 BC 和 DA 的中点，则
8、异面直线 MN 和 CD 所成的角为_ 解析：因为 ABCD 是正四面体，所以 AB CD.取 AC 的中点 E，连接 ME， NE，则 ENM 的大小为异面直线 MN 和 CD 所成角的大小因为 ME NE，且 ME NE，所以 ENM 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 4 清易错 1异面直线易误解为 “ 分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线 ” ，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 2 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视 “ 线在面内 ” 1.如图所示，在三棱锥 PABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( ) A 2 对 B 3 对
9、 C 4 对 D 6 对 解析：选 B 依题意，异面直线有 AP 与 BC， PB 与 AC， CP 与 AB，共 3 对 2若直线 a b，且直线 a 平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是 ( ) A b? B b C b? 或 b D b 与 相交或 b? 或 b 解析：选 D b 与 相交或 b? 或 b 都可以 平行关系 4 定理 过双基 1 直线与平 面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与 此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (线线平行 ?线面平行 ) l a， a? ， l? ， l 性质定理 一条直线与一个平面平行，则
10、过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行 (简记为 “ 线面平行 ?线线平行 ”) l ， l? ， b， l b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 相交直线 与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简 记为 “ 线面平行 ?面面平行 ”) a ， b ， a b P， a? ， b? ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交 ，那么它们的 交线 平行 ， a， b， ab 小题速通 1过平面 外的直线 l，作一组平面与 相交，如果所得的交线分别为 a， b， c， ? ，那么这
11、些交线的位置关系为 ( ) A都平行 B都相交且一定交于同一点 C都相交但不一定交于同一点 D都平行或交于同一点 解析：选 D 若 l 平面 ，则交线都平行；若 l 平面 A，则交线都交于同一点 A. 2下列说法中正确的是 ( ) 一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； 过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行 A B C D 解析：选 D 由线面平行的性质定理知 正确；由直线与平面平行的定义知 正确； 错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面 3已知直线 a 平面 ， P
12、 ，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线 ( ) A只有一点，不在平面 内 B有无数条，不一定在平面 内 C只有一条，在平面 内 D有无数条，一定在平面 内 解析：选 C 由线面平行的性质可知 C 正确 4设 ， ， 为三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，在命题 “ m，n? ，且 _，则 m n” 中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ， n? ； m ， n ； n ， m? .可以填入的条件有 _ 解析：由面面平行的性质定理可知， 正确；当 n ， m? 时， n 和 m 在同一平面 内，且没有公共点，所以平行， 正确 答案： 或 清易错 1直线与平面平行的判
13、定中易忽视 “ 线在面内 ” 这一关键条件 2面面平行的判定中易忽视 “ 面内两条直线相交 ” 这一条件，如果一个平面内有无数条=【 ;精品教育资源文库 】 = 直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 1已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 平行，则直线 b 与 的关系为 ( ) A平行 B相交 C直线 b 在平面 内 D平行或直线 b 在平面 内 解析：选 D 依题意，直线 a 必与平面 内的某直线平行，又 a b，因此直线 b 与平面 的位置关系是 平行或直线 b 在平面 内 2设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m? ， “ m ” 是 “ ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m ?/ ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m? ，所以 m .综上知， “ m ”是 “ ” 的必要不充分条件 . 垂直关系 4 定理 过双基 1 直线
