1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 四十 数学归纳法 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.用数学归纳法证明“ 2nn2+1 对于 n n0的正整数 n都成立”时 ,第一步证明中的起始值 n0应取 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】 选 C.当 n=1时 ,21=2=12+1, 当 n=2时 ,22=452+1=26, 当 n=6时 ,26=6462+1=37,故起始值 n0应取 5. 2.(2018淄博模拟 )设 f(x)是定义在正整数集上的函数 ,且 f(x)满足 :当 f(k) k+1成立时 ,总能推出 f(k+1) k+2成立 ,那么下列命题总成立
2、的是 ( ) A.若 f(1)2,f(8) ,f(16)3,f(32) ,观察上述结果 ,可推测出一般结论 ( ) A.f(2n) B.f(n2) C.f(2n) D.以上都不对 【解析】 选 C.f(2)=f(21)= = ,f(4)=f(22) , f(8)=f(23) ,f(16)=f(24) , =【 ;精品教育资源文库 】 = f(32)=f(25) ,由此可推知 f(2n) . 6.用数学归纳法证明 1+2+3+? +2n=2n-1+22n-1(n N*)时 ,假设 n=k时命题成立 ,则当 n=k+1时 ,左端增加的项数是 ( ) A.1 项 B.k-1项 C.k 项 D.2k项
3、 【解析】 选 D. 运用数学归纳法证明 1+2+3+? +2n=2n-1+22n-1(n N*) 当 n=k时 ,则有 1+2+3+? +2k=2k-1+22k-1(k N*) 左边表示的为 2k项的和 .当 n=k+1 时 ,则 左边 =1+2+3+? +2k+(2k+1)+? +2k+1,表示的为 2k+1项的和 ,因此 ,增加了 2k+1-2k=2k项 . 7.(2018商丘模拟 )已知 1+23+33 2+43 3+? +n3 n-1=3n(na-b)+c对一切 n N*都成立 ,则 a,b,c的值为( ) A.a= ,b=c= B.a=b=c= C.a=0,b=c= D.不存在这样
4、的 a,b,c 【解题指南】 根据数学归 纳法的要求 ,只需代入前三个数即可 . 【解析】 选 A.因为等式对一切 n N*均成立 ,所以 n=1,2,3时等式成立 , 即 整理得 解得 a= ,b=c= . 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.(2018洛阳模拟 )用数学归纳法证明 1+ + +? + 1)时 ,第一步应验证的不等式是_. 解析】 由 n N*,n1知 ,n取第一个值 n0=2,当 n=2时 ,不等式为 1+ + 的过程中 ,由 n=k推 导 n=k+1时 ,不等式的左边增加的式子是 _. 导学号 12560630 【解析】 不等式的左边增加的式子是 + - =
5、 ,故填. 答案 : . 1.(5分 )已知 n为正偶数 ,用数学归纳法证明 1- + - +? - =2( + +? + )时 ,若已假设n=k(k 2且 k为偶数 )时命题为真 ,则还需要用归纳假设再证 ( ) A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 【解析】 选 B. k为偶数 ,则 k+2为偶数 . 2.(5分 )用数学归纳法证明“ 1+ + +? + 1,n N*),求证 : 1+ (n 2,n N*). 【证明】 (1)当 n=2时 , =S4=1+ + + = 1+ ,即 n=2时命题成立 ; (2)假设
6、当 n=k(k 2,k N*)时命题成立 ,即 =1+ + +? + 1+ , 则当 n=k+1时 , =1+ + +? + + +? + 1+ + + +?+ 1+ + =1+ + =1+ , 故当 n=k+1时 ,命题成立 . 由 (1)和 (2)可知 ,对 n 2,n N*.不等式 1+ 都成立 . 5.(13分 )在数列 an中 ,a1=2,an+1=a n+ n+1+(2-)2 n(n N*,0). (1)求 a2,a3,a4. (2)猜想 an的通项公式 ,并加以证明 . 【解析】 (1)a2=2 + 2+2(2- )= 2+22, =【 ;精品教育资源文库 】 = a3= ( 2
7、+22)+ 3+(2- )22=2 3+23, a4= (2 3+23)+ 4+(2- )23=3 4+24. (2)由 (1)可猜想数列通项公式为 : an=(n-1) n+2n. 下面用数学归纳法证明 : 当 n=1,2,3,4时 ,等式显然成立 , 假设当 n=k(k 4,k N*)时等式成立 , 即 ak=(k-1) k+2k, 那么当 n=k+1时 , ak+1= ak+ k+1+(2- )2k = (k-1) k+ 2k+ k+1+2k+1- 2k =(k-1) k+1+ k+1+2k+1 =(k+1)-1 k+1+2k+1, 所以当 n=k+1时 ,ak+1=(k+1)-1 k+1+2k+1,猜想成立 , 由知数列的通项公式为 an=(n-1) n+2n(n N*, 0).
