1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 指数与指数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 ， 了解实数指数幂的意义 ， 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念及其单调性 ，掌握指数函数图象通过的特殊点 ， 会画底数为 2,3,10， 12， 13的指数函数的图象 4 体会指数函数是一类重要的函数模型 . 2017 山东卷 ， 10 2017 北京卷 ， 10 2016 浙江卷 ， 7 2015 天津卷 ， 7 1.指数幂的化简与运算 ， 经常与对数函数相结合考查 2 指数 函数的图象与性质的应用是高考的热点 ， 经常与对数函数一起考查
2、 3 指数函数的综合应用是高考的热点 ， 经常以指数型函数和复合函数的形式出现 ， 考查它们的单调性 、 奇偶性 、 最值等 . 分值： 5 分 1 根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 _xn a_， 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n1， 且 n N* 当 n 是奇数时 ， 正数的 n 次方根是一个 _正数 _，负数的 n 次方根是一个 _负数 _ n a 零的 n 次方根是零 当 n 是偶数时 ， 正数的 n 次方根有 _两个 _， 这两个数互为 _相 反数 _ n a(a0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 n an? _a_?n为奇数 ?，|a|? _a
3、_?a0 ?，_ a_?a0， m， n N*， 且 n1)； =【 ;精品教育资源文库 】 = 负分数指数幂： a mn _1amn_ _ 1n am_(a0， m， n N*， 且 n1)； 0 的正分数指数幂等于 _0_,0 的负分数指数幂 _无意义 _. (2)有理数指数幂的性质 aras _ar s_(a0， r， s Q)； (ar)s _ars_(a0， r， s Q)； (ab)r _arbr_(a0， b0， r Q) 3 指数函数的图象与性质 y ax a1 00 时 ， _y1_； 当 x0 时 ， _01_ 在 R 上是 _增函数 _ 在 R 上是 _减函数 _ 1 思
4、维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)n an与 (n a)n都等于 a(n N*) ( ) (2)2a2 b 2ab.( ) (3)函数 y 32 x与 y 2x 1都不是指数函数 ( ) (4)若 am0， 且 a1) ， 则 m1 时 ， mn. (5)正确 y 2 x ? ?12 x， 根据指数函数的性质可知函数在 R 上为减函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 化简 ( 2)612 ( 1)0的结果为 ( B ) A 9 B 7 C 10 D 9 解析 原式 (26)12 1 7. 3 函数 f(x) 1 2x的定义域是 ( A ) A ( ， 0 B 0， ) C
5、( ， 0) D ( ， ) 解析 1 2x0 ， 2x1 ， x0. 4 已知函数 f(x) 4 ax 1的图象恒过定点 P， 则点 P 的坐标 是 ( A ) A (1,5) B (1,4) C (0,4) D (4,0) 解析 当 x 1 时 ， f(x) 5. 5 若函数 y (a2 1)x在 ( ， ) 上为减函数 ， 则实数 a 的取值范围是 _( 2， 1) (1， 2)_. 解析 由题意知 00， 且 a1) 的图象 ， 应抓住三个关键点： (1， a)， (0,1)， ? ? 1， 1a和一条渐近线 y 0. (2)与指数函数有关的函数图象的研究 ， 往往利用最基本的指数函数
6、的图象 ， 通过平移 、对称变换 ， 得到其图象 (3)一些指数方程 、 不等式问题的求解 ， 往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 【例 2】 (1)函数 y ax 1a(a0， 且 a1) 的图象可能是 ( D ) (2)若曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 没有公共点 ， 则 b 的取值范围是 _ 1,1_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)因为函数 y ax 1a(a0， 且 a1) 的图象必过点 ( 1,0)， 所以 D 项正确故选 D (2)曲线 |y| 2x 1 与直线 y b 的图象如图所示 由图象可得：如果 |y| 2x 1与直线 y b没有公共点 ，
7、则 b应满足的条件是 b 1,1 三 指数函数的性质及应用 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值 (0 或 1) (2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性 ， 要特别注意底数 a 的取值范围 ， 并在必要时进行分类讨论 (3)求解与指数函数有关的复合函数问题 ， 首先要熟知指数函数的定 义域 、 值域 、 单调性等相关性质 ， 其次要明确复合函数的构成 ， 涉及值域 、 单调区间 、 最值等问题时 ， 都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断 ， 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 【例 3】 已知函
8、数 f(x) ex e x(x R， 且 e 为自然对数的底数 ) (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性； (2)是否存在实数 t， 使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 x R 都成立？若存在 ，求出 t；若不存在 ， 请说明理由 解析 (1) f(x) ex ? ?1e x， f( x) ex ? ?1e x， f( x)0 对任意 x R 都成立 ， f(x)在 R 上是增函数 f(x)的定义域为 R， 且 f( x) e x ex f(x)， f(x)是奇函数 (2)存在 ， 由 (1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数 ， 则 f(x t) f(x2 t2)0
9、对一切 x R都成立 ?f(x2 t2) f(t x)对一切 x R都成立 ?x2 t2 t x对一切 x R都成立 ?t2 t x2 x ? ?x 12 2 14对一切 x R 都成立 ?t2 t( x2 x)min 14?t2 t 14 ? ?t 12=【 ;精品教育资源文库 】 = 20. 又 ? ?t 12 20 ， ? ?t 12 2 0， t 12， 存在 t 12， 使不等式 f(x t) f(x2 t2)0对一切 x R 都成立 1 已知 a ? ?3525 ， b ? ?2535 ， c ? ?2525 ， 则 ( D ) A ac， b0， 且 a1 ， 如果以 P(x1，
10、 f(x1)， Q(x2， f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上 ， 那么 f(x1) f(x2) ( A ) A 1 B a C 2 D a2 解析 以 P(x1， f(x1)， Q(x2， f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上 ， x1 x2 0，又 f(x) ax， f(x1) f(x2) ax1 ax2 ax1 x2 a0 1.故选 A 3 函数 y 4x 2x 1 1 的值域为 ( B ) A (0， ) B (1， ) C 1， ) D ( ， ) 解析 令 2x t(t0)， 则函数 y 4x 2x 1 1 可化为 y t2 2t 1 (t 1)2(t0) 函数 y (t
11、 1)2在 (0， ) 上递增 ， y1. 所求值域为 (1， ) 故选 B 4 函数 f(x) ax loga(x 1)(a0， 且 a1) 在 0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 ( B ) A 14 B 12 C 2 D 4 解析 在 0,1上 y ax与 y loga(x 1)具有相同的单调性 ， f(x) ax loga(x1)在 0,1上单调 f(0) f(1) a， 即 a0 loga1 a1 loga2 a， 化简得 1 loga2 0， 解得 a 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 易错点 不注意 ax0?a0， 且 a1 ? 错因分析：令 t ax时
12、， 忽略了 t0 这一条件 【例 1】 要使关于 x 的不等式 9x (4 a)3x 40 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围 解析 方法一 令 3x t， 则 t0， 且 t2 (4 a)t 40 在 t (0， ) 时恒成立 令 f(t) t2 (4 a)t 4(t0)， 则 ? ?3x 43x 恒成立 令 3x t， 其中 t0， t 4t4( 当且仅当 t 2 时取等号 )， ? ?t 4t 4， 4 a ? ?t 4t 恒成立 ， 4 a 4， a 8. 实数 a 的取值范围为 ( 8， ) 【跟踪训练 1】 如果函数 y a2x 2ax 1(a0， 且 a1) 在 1,1上有最大值
13、 14， 试求 a 的值 解析 设 t ax0， 则原函数可化为 y (t 1)2 2， 其对称轴为 t 1. 若 a1， t ax在 1,1上递增 ， t ? ?1a， a . 1cb B cab C abc D bac 解析 b 2.50 1， c ? ?12 2.5 2 2.5， 则 2 2.5f(c)f(b)， 结合图象知 00， 0f(c)， 1 2a2c 1， 2a 2cf( 3)， 则 a的取值范围是 _(0,1)_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 因为 f(x) a x ? ?1a x， 且 f( 2)f( 3)， 所以函数 f(x)在定义域上单调递增 ， 所以 1a
14、1， 解得 00， 且 a1) 在 1,2上的最大值为 4， 最小值为 m， 且函数 g(x) (1 4m) x在 0， ) 上是增函数 ， 则 a _14_. 解析 因为 g(x)在 0， ) 上为增函数 ， 则 1 4m0， 即 m1， 则函数 f(x)在 1,2上单调递增 ， 最小值为 1a m， 最大值为 a2 4， 解得 a2， m 12， 与 m0， 且 a1) ， 若对任意 x1， x2 R， f?x1? f?x2?x1 x20， 则a 的取值范围是 _(0,1) (2， ) _. 解析 当 02 时 ， a 20， yax单调递增 ， 所以 f(x)单调递增又由题意知 f(x)单调递增 ， 故 a 的取值范围是 (0,1) (2， ) 三 、 解答题 10 化简： (1) a3b2 3 ab2?a14b12?4a 13b13(a0， b0)； (2)? ? 278 23 (0.002) 12 10( 5 2) 1 ( 2 3)0. 解析 (1)原式?a3b2a13b23?12ab2a 13b13
