1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（四十六） 古典概型命题 2 类型 简单问题、交汇问题 一、选择题 1 (2017 天津高考 )有 5 支彩笔 (除颜色外无差别 )，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A.45 B.35 C.25 D.15 解析：选 C 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10 种不同取法： (红，黄 )， (红，蓝 )， (红，绿 )， (红，紫 )， (黄 ，蓝 )， (黄，绿 )， (黄，紫 )， (蓝，绿 )， (蓝，紫 )， (绿，紫 )而取出的 2
2、支彩笔中含有红色彩笔的取法有 (红，黄 )， (红，蓝 )， (红，绿 )， (红，紫 )，共 4 种，故所求概率 P 410 25. 2先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为 ( ) A.112 B.16 C.14 D.13 解析：选 C 骰子的点数为 1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子， 设基本事件为 (x， y)，共有 66 36 个， 记两次点数之积为奇数的事件为 A， 有 (1,1)， (1,3)， (1,5)， (3,1)， (3,3)， (3,5)， (5,1)， (5,3)， (5,5) 共 9 个， 所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为
3、 P(A) 936 14. 3高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住 3 个标间 (每个标间至多住 2 人 )，则 A， B 入住同一标间的概率为 ( ) A.110 B.15 C.310 D.25 解析：选 B 记 A， B 入住同一标间的概率为 P，某宾馆随机安排五名男生入住 3 个标间(每个标间至多住 2 人 )共有 C25C23A22 A33 90 种不同的方法， A， B 入住同一标间有 C23A33 18 种不同的方法， P 1890 15. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2018 泉州质检 )一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依 次为 a， b， c，当且仅当
4、 a b， b c 时，称该三位自然数为 “ 凹数 ”( 如 213,312 等 )，若 a， b， c 1,2,3,4，且 a， b， c 互不相同，则这个三位数为 “ 凹数 ” 的概率是 ( ) A.16 B.524 C.13 D.724 解析：选 C 由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个； 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个；由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个； 由 2,3,4 组成的 三位自然数也是 6 个所以共有 46 24 个 当 b 1 时，有 214,213,312,314,412,413，共 6
5、个 “ 凹数 ” ； 当 b 2 时，有 324,423，共 2 个 “ 凹数 ” 所以这个三位数为 “ 凹数 ” 的概率 P 6 224 13. 5高考后， 4 位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为 ( ) A.18 B.38 C.58 D.78 解析：选 D 高考后 ， 4 位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n 24 16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是 4 位考生都参观甲大学或 4 位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率 P 1 116 116 78. 6 a， b， c， d， e 是从集合 1,2
6、,3,4,5中任取的 5 个元素 (不允许重复 )，则 abc de为奇数的概率为 ( ) A.12 B.415 C.25 D.35 解析：选 C 由题意可得 a， b， c， d， e 是 1,2,3,4,5 这 5 个数， 将这 5 个数分组可得 (123,45)， (124,35)， (125,34)， (134,25)， (135,24)， (145,23)，(234,15)， (235,14)， (245,13)， (345,12)，共分 10 组， 其中能使 abc de 为奇数的有 (124,35)， (135,24)， (234,15)， (245,13)，共有 4 组， 所以
7、 abc de 为奇数的概率 P 410 25. =【 ;精品教育资源文库 】 = 7抛 掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为 a， b，则 a20， 即 ab. 又 (a， b)的取法共有 9 种 ， 其中满足 ab 的有 (1,0)， (2,0)， (2,1)， (3,0)， (3,1)， (3,2)，共 6 种， 故所求的概率 P 69 23. 二、填空题 9若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 _ 解析：由任何三点不共线，则共有 C38 56 个三角形， 8 个等分点可得 4 条直径，可构成直角三角形有 46 24 个
8、 ，所以构成直角三角形的概率 P 2456 37. 答案： 37 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10从 1,0,1,3,4 这五个数中任选一个数记为 a，则使曲线 y 7 3ax 的图象在第一、三象限，且满足不等式组? 2x 39，x a9，x a0 且 a3 ，所以 a73，所以 a 可取 1,0,1，由古典概型的概率公式，得 P 35. 答案： 35 11从 x2my2n 1(其中 m， n 1,2,3)所表示的圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 _ 解析：当方程 x2my2n 1 表示椭圆 、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，
9、不能有 m 0， n 0，所以方程 x2my2n 1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的 (m， n)有 (2， 1)， (3， 1)， (2,2)， (2,3)， (3,2)， (3,3)， ( 1， 1)，共 7 种，其中表示焦点在 x 轴上的双曲线时， m 0， n 0，有 (2,2)， (2,3)， (3,2)， (3,3)，共 4 种，所以所求概率 P 47. 答案： 47 12设集合 A 0,1,2， B 0,1,2，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上一个点 P(a， b)，设 “ 点 P(a， b)落在直线 x y n 上 ” 为事件 Cn(0 n4
10、 ， n N)，若事件 Cn的概率最大，则 n 的值为 _ 解析：由题意知，点 P 的坐标的所有情况为 (0,0)， (0,1)， (0,2)， (1,0)， (1,1)， (1,2)，(2,0)， (2,1)， (2,2)，共 9 种 当 n 0 时，落在直线 x y 0 上的点的坐标为 (0,0)，共 1 种； 当 n 1 时，落在直线 x y 1 上的点的坐标为 (0,1)和 (1,0)，共 2 种； 当 n 2 时，落 在直线 x y 2 上的点的坐标为 (1,1)， (2,0)， (0,2)，共 3 种； 当 n 3 时，落在直线 x y 3 上的点的坐标为 (1,2)， (2,1)
11、，共 2 种； 当 n 4 时，落在直线 x y 4 上的点的坐标为 (2,2)，共 1 种 因此，当 Cn的概率最大时， n 2. 答案： 2 三、解答题 13有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字 1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的=【 ;精品教育资源文库 】 = 数字是抛掷后面向上的那一个数字已知 b 和 c 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数 f(x) x2 bx c(x R) (1)若先抛掷骰子得到的数字是 3，求再次抛掷骰子时，函数 y f(x)有零点的概率； (2)求函数 y f(x)在区间 ( 3， ) 上是增函数的概率 解： (1)记 “ 函数 f(x) x2 bx
12、 c(x R)有零点 ” 为事件 A， 由题意知， b 3， c 1,2,3,4,5,6， 所有的基本事件为 (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6)，共 6 个 当函数 f(x) x2 bx c(x R)有零点时，方程 x2 bx c 0 有实数根， 即 b2 4c0 ， c 94， c 1 或 2， 即事件 A 包含 2 个基本事 件， 函数 f(x) x2 bx c(x R)有零点的概率 P(A) 26 13. (2)由题意可知，所有的基本事件为 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,1)， ?
13、，(6,5)， (6,6)，共 36 个 记 “ 函数 y f(x)在区间 ( 3， ) 上是增函数 ” 为事件 B. y f(x)的图象开口向上， 要想使函数 y f(x)在区间 ( 3， ) 上是增函数， 只需 b2 3 即可，解得 b6 ， b 6. 事件 B 包含 的基本事件有 6 个 函数 y f(x)在区间 ( 3， ) 上是增函数的概率 P(B) 636 16. 14学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力学校对 10 位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为 A，B， C 三个等级，其统计结果如下表： 语言表达能力 文字组
14、织能力 A B C A 2 2 0 B 1 a 1 C 0 1 b 由于部分数据丢失，只知道从这 10 位参加测试的学生中随机抽取一位， 抽到语言表达能力或文字组织能力为 C 的学生的概率为 310. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 a， b 的值； (2)从测试成绩均为 A 或 B 的学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 A 的学生的概率 解： (1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为 C 的学生共有 (b 2)人， 所以 b 210 310， a b 3，解得 b 1， a 2. (2)测试成绩均为 A 或 B 的学生共有 7 人，其中语言
15、表达能力和文字组织能力均为 B 的有 2 人，设为 b1， b2，其余 5 人设为 a1， a2， a3， a4， a5. 则基本事件空间 (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2， a4)， (a2， a5)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a3， b1)， (a3，b2)， (a4， a5)， (a4， b1)， (a4， b2)， (a5， b1)， (a5， b2)， (b1， b2) 所以基本事件空间总数为 21. 选出的 2
16、人语言表达能力和文字组织能力均为 B 的有 (b1， b2) 所以至少有一位语言表达能力或文字 组织能力为 A 的学生的概率 P 1 121 2021. 1若 x A 的同时，还有 1x A，则称 A 是 “ 好搭档集合 ” ，在集合 B ? ?13， 12， 1， 2， 3 的所有非空子集中任选一集合，则该集合是 “ 好搭档集合 ” 的概率为 ( ) A.731 B.732 C.14 D.831 解析：选 A 由题 意可得，集合 B 的非空子集有 25 1 31 个，其中是 “ 好搭档集合 ”的有： 1， ? ?13， 3 ， ? ?12， 2 ， ? ?13， 1， 3 ， ? ?12， 1， 2 ， ? ?13， 12， 2， 3 ， ? ?13， 12， 1， 2， 3 ，共 7 个，所以该集合是 “ 好搭档集合 ” 的概率为 P 731. 2 “ 累积净化量 (CCM)” 是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始
