1、=【 ;精品教育资源文库 】 = “随机变量及其分布”双基过关检测 一、选择题 1设随机变量 N(2,1)，若 P( 3) m，则 P(13) m，所以 P( 3) 1 2m. 2已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 P 16 13 16 a 则随机变量 X 的数学期望为 ( ) A.23 B.43 C.53 D.76 解析：选 C a 1 ? ?16 13 16 13， E(X) 0 16 1 13 2 16 3 13 53. 3随机变量 的概率分布规律为 P( k) ck k ， k 1,2,3,4，其中 c 是常数，则 P? ?12 52 的值为 ( ) A.23
2、B.34 C.45 D.56 解析：选 D 由题可得， c1 12 12 13 13 14 14 15 c 45 1，解得 c 54. 所以 P? ?12 52 P( 1) P( 2) 54 ? ?12 16 56. 4已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡 口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第 1 次取到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次取到的是卡口灯=【 ;精品教育资源文库 】 = 泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79 解析：选 D 设事件 A 为 “ 第一次取到的是螺口灯泡 ” ， 事件 B 为 “ 第二次取到的是卡口灯泡 ” ，
3、 则 P(A) 310， P(AB) 310 79 730， 故所求概率为 P(B|A) P ABP A 730310 79. 5 (2018 邢台摸底 )一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的， 3 个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X 4)的值为 ( ) A. 1220 B.2755 C.27220 D.2125 解析：选 C 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球，故 P(X 4) C23C19C312 27220. 6下列各组的两个事件相互独立的是 ( ) 运动员甲射击一次， “ 射中 10 环 ” 与 “
4、射中 8 环 ” ； 甲、乙两名运动员各射击一次， “ 甲射中 10 环 ” 与 “ 乙射中 8 环 ” ； 盒子中放有 5 个红球、 5 个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件 A 为 “ 第一次取出白球 ” ，取出的球放回盒中，事件 B 为 “ 第二次取出的是白球 ” ； 盒子中放有 5 个红球、 5 个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件 A 为 “ 第一次取出白球 ” ，取出 的球不放回盒中，事件 B 为 “ 第二次取出的是白球 ” A B C D 解析：选 B 甲射击一次， “ 射中 10 环 ” 与 “ 射中 8 环 ” 两个事件不可能同时发生，是互斥事件； 甲、乙两名运动员各射击一次
5、， “ 甲射中 10 环 ” 发生与否对 “ 乙射中 8 环 ” 的概率没有影响，故二者是相互独立事件； 在有放回的取球中，事件 A 与 B 是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件； 在不放回的取球中，事件 A 发生后，事件 B 的概率发生了改变，故二者不是相互独立=【 ;精品教育资源文库 】 = 事件 二、填空题 7随机掷一枚质地均匀的骰子，记 向上的点数为 m，已知向量 AB (m,1)， BC (2 m， 4)，设 X AB AC ，则 X 的数学期望 E(X) _. 解析： AC AB BC (2， 3)， X AB AC 2m 3，而 m 1,2,3,4,5,6. 列出
6、X 的分布列 (如表所示 )， X 1 1 3 5 7 9 P 16 16 16 16 16 16 E(X) 16( 1 1 3 5 7 9) 4. 答案： 4 8已知随机变量 的分布列为： 1 0 1 2 P x 13 16 y 若 E( ) 13，则 x y _， D( ) _. 解析：由题意，得 x y 12.又 E( ) x 16 2y 13， 解得 x 518， y 29， 所以 D( ) ? ? 1 13 2 518 ? ?0 13 2 13 ? ?1 13 2 16 ? ?2 13 2 29 119. 答案： 12 119 9设随机变量 服从正态分布 N(1， 2)，若 P( 1
7、) 0.2，则函数 f(x) 13x3 x2 2x 没有极值点的概率是 _ 解析： f( x) x2 2x 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为函数 f(x) 13x3 x2 2x 没有极值点， 所以 f( x) x2 2x 20 恒成立， 所以 4 4 20 ，则 1 或 1 ， 因为 P( 1) 0.2，且随机变量 服从正态分布 N(1， 2)， 所以 P( 1 或 1) P( 1) P( 1) 0.2 0.5 0.7. 答案： 0.7 三、解答题 10如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过 T1，T2， T3的概率都是 p
8、，电 流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知 T1，T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (1)求 p； (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 解：记 Ai表示事件 “ 电流能通过 Ti” ， i 1,2,3,4， A 表示事件 “ T1， T2， T3中至少有一个能通过电流 ” ， B 表示事件 “ 电流能在 M 与 N 之间通过 ” (1) A A1A2A3， A1， A2， A3相互独立， P( A ) P(A1A2A3) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) (1 p)3， 又 P( A ) 1 P(A) 1 0.999 0.0
9、01， 故 (1 p)3 0.001，解得 p 0.9. (2)B A4 ( A4 A1A3) (A4A1A2A3)， P(B) P(A4) P( A4 A1A3) P(A4A1A2A3) P(A4) P( A4 )P(A1)P(A3) P( A4 )P( A1 )P(A2)P(A3) 0.9 0.10.90.9 0.10.10.90.9 0.989 1. 11 某商场经销某商品 ， 根据以 往资料统计 ， 顾客采用的付款期数 的分布列为 ： 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200
10、 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 (1)求事件 A： “ 购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款 ” 的概率 P(A)； (2)求 的分布列及数学期望 E( ) 解： (1)由事件 A： “ 购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款 ” ， 可知 A 表示事 件 “ 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 ” ， 因为 P( A ) (1 0.4)3 0.216， 所以 P(A) 1 P( A ) 1 0.216 0.784. (2)由题意知， 的可能取值为
11、 200 元， 250 元， 300 元， 则 P( 200) P( 1) 0.4， P( 250) P( 2) P( 3) 0.2 0.2 0.4， P( 300) P( 4) P( 5) 0.1 0.1 0.2， 所以 的分布列为 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 故数学期望 E( ) 2000.4 2500.4 3000.2 240(元 ) 12 (2017 北京高考 )为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中 “*” 表示服药者， “ ” 表
12、示未服药者 (1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； (2)从图中 A， B， C， D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7的人数，求 的分布列和数学 期望 E( )； (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 (只需写出结论 ) 解： (1)由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率 P 1550 0.3. (2)由图知， A， B， C， D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人： A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. P( 0) C22C2416， P( 1)C12C12C24 23， P( 2)C22C2416. 所以 的分布列为 0 1 2 P 16 23 16 故 的数学期望 E( ) 0 16 1 23 2 16 1. (3)在这 100 名患者中 ，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差
