1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 参数方程 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函数? x f?t?，y g?t? (*)，如果对于 t 的每一个允许值，由方程组 (*)所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么方程组 (*)就叫做这条曲线的 参数方程 ，变数 t 叫做参数 考点 2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “ ” ，错误的打 “”) (1)参数方程? x t 1，y 2 t (t1)
2、表示的曲线为直线 ( ) (2)直线 y x 与曲线? x 3cos ，y 3sin ( 为参数 )的交点个数为 1.( ) (3)直线? x 2 tcos30 ，y 1 tsin150 (t 为参数 )的倾斜角 为 30.( ) (4)参数方 程? x 2cos ，y 5sin ? 为参数且 ?0， 2 表示的曲线为椭圆 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知圆的参数方程? x 2cos ，y 2sin ( 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线的极坐标方程为 3 cos 4 sin 9 0，则直线与圆的位置关系是 ( ) A相切 B相离 C直
3、线过圆心 D相交但直线不过圆心 答案 D 解析 圆的普通方程为 x2 y2 4，直线的直角坐标方程为 3x 4y 9 0.圆心 (0,0)到直线的距离 d |30 40 9|32 ? 4?2 950，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若 |EF| |MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p _. 答案 2 解析 由参数方程? x 2pt2，y 2pt (t 为参数 )， p0，可得曲线方程为 y2 2px(p0) |EF| |MF|，且 |MF| |ME|(抛物线定义 )， MEF 为等边三角形， E 的横坐标为 p2， M 的横坐标为 3. EM 中点的横
4、坐标为3 p22 ，与 F 的横坐标p2相同 3 p22 p2， p 2. 6 2015 湖北高考 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0，曲线 C 的参数方程为? x t 1t，y t 1t(t 为参数 )， l 与 C 相交于 A， B 两点，则 |AB| _. 答案 2 5 解析 因为 (sin 3cos ) 0，所以 sin 3 cos ，所以 y 3x.由=【 ;精品教育资源文库 】 = ? x t 1t，y t 1t，消去 t 得 y2 x2 4.由? y 3x，y2 x2 4， 解得 ?
5、 x 22 ，y 3 22或? x 22 ，y 3 22 ，不妨令 A? ?22 ， 3 22 ， B? ? 22 ， 3 22 ，由两点间的距离公式得 |AB| ? ?22 22 2 ? ?3 22 3 22 2 2 5. 板块二 典例探究 考向突破 考向 参数方程与普通方程的互化 例 1 2017 全国卷 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为? x 3cos ，y sin( 为参数 )，直线 l 的参数方程为? x a 4t，y 1 t (t 为参数 ) (1)若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解 (1)曲线
6、C 的普通方程为 x29 y2 1. 当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0. 由? x 4y 3 0，x29 y2 1， 解得? x 3，y 0 或 ? x 2125，y 2425.从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0)， ? ? 2125， 2425 . (2)直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点 (3cos ， sin )到 l 的距离为 d |3cos 4sin a 4|17 |5sin? ? a 4|17 ? ?tan 34 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a 4 时， d 的最大值为 a 917. 由题设得 a 917 17，
7、所以 a 8； 当 a 4 时， d 的最大值为 a 117 . 由题设得 a 117 17，所以 a 16. 综上， a 8 或 a 16. 触类旁通 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2 cos2 1 等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解 【变式训练 1】 2018 湖南长郡中学模拟 已知曲线 C1：? x 4 cost，y 3 sint (t 为参数 )， C2：?
8、 x 8cos ，y 3sin ( 为参数 ) (1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2 ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 C3：? x 3 2t，y 2 t (t 为参数 )距离的最小值 解 (1)C1： (x 4)2 (y 3)2 1， C2： x264y29 1， C1表示圆心是 ( 4,3)，半径是 1 的圆， C2表示中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2 时， P( 4,4)，又 Q(8cos ， 3sin )，故 M? ? 2 4c
9、os ， 2 32sin ， 又 C3 的普通方程为 x 2y 7 0，则 M 到 C3 的距离 d 55 |4cos 3sin 13|55 |3sin 4cos 13|55 |5sin( ) 13|?其中 满足 tan 43 ， 所以 d 的最小值为 8 55 . 考向 直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 2 2018 宝鸡模拟 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 C1：? x cos ，y sin ( 为参数 )， 将 C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2和 2 倍后得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x
10、 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l： ( 2cos sin ) 4. (1)试写出曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的参数方程； (2)在曲线 C2上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小，并求此最小值 解 (1)把 C1：? x cos ，y sin ( 为参数 )，消去参数化为普通 方程为 x2 y2 1，故曲线 C1的极坐标方程为 1. 再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通方程为 ? ?x2 2 ? ?y2 2 1，即 x22y241.故曲线 C2的参数方程为 ? x 2cos ，y 2sin ( 为参数 ) (2)直线 l： ( 2cos
11、 sin ) 4，即 2x y 4 0，设点 P( 2cos ， 2sin )，则点 P 到直线的距离为 d |2cos 2sin 4|2 1 2? ?2sin? ? 4 23 ， 故当 sin? ? 4 1 时， d 取得最小值，此时， 2k 4(k Z)，点 P(1， 2)，故曲线 C2上有一点 P(1， 2)满足到直线 l 的距离的最小值为 4 33 2 63 . 触类旁通 参数方程和直角坐标方程及 极坐标方程之间的相互转化 (1)把 C1消去参数化为普通方程为 x2 y2 1，再化为极坐标方程根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2的普通方程，再化为参数方程 (2)先求得直线 l 的直
12、角坐标方程，设点 P( 2cos ， 2sin )，求得点 P 到直线的距离为 d2? ?2sin? ? 4 23 ，故当 sin? 4 1 时，即 2k 4 ， k Z 时，点 P到直线 l 的距离最小，从而求得 P 的坐标以及此最小值 【变式训练 2】 2018 宜春模拟 在直角坐 标系 xOy 中，圆 C1和 C2的参数方程分别是? x 2 2cos ，y 2sin ( 为参数 )和 ? x cos ，y 1 sin ( 为参数 )，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求圆 C1和 C2的极坐标方程； (2)射线 OM： 与圆 C1
13、的交点为 O、 P，与圆 C2的交点为 O、 Q，求 |OP| OQ|的最大值 解 (1)圆 C1? x 2 2cos ，y 2sin ( 为参数 )， 转化成直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4， 即 x2 y2 4x 0， 转化成极坐标方程为 2 4 cos ， 即 4cos 圆 C2? x cos ，y 1 sin ( 为参数 )， 转化成直角坐标方程为 x2 (y 1)2 1， 即 x2 y2 2y 0 转化成极坐标方程为 2 2 sin ， 即 2sin . (2)射线 OM： 与圆 C1的交点为 O、 P，与 圆 C2的交点为 O、 Q， 设 P， Q 对应的极径分别为 1， 2
14、，则 |OP| OQ| 1 2 4|sin2 |. (|sin2 |)max 1， |OP| OQ|的最大值为 4. 考向 直线的参数方程 例 3 2018 泉州模拟 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是? x 1 t，y 2 t (t 是参数 )，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取 相同的单位长度，曲线 C 的极坐标方程为 4 2sin? ? 4 . (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设点 P 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，试求 |AB|及 |PA| PB|的值 解 (1)直线 l 的普通方程为 x y 3 0. 4 2sin? ? 4 4sin 4cos ，所以 2 4 sin 4 cos ，所以曲线 C的直角坐标方程为 x2 y2 4x 4y 0(或写成 (x 2)2 (y 2)2 8) (2)直线 l 的参数方程可化为? x 1 22 t ，y 2 22 t(t 是参数 )， 把直线 l 的参数方程代入 x2 y2 4x 4y 0 得， t 2 2t 7 0. =【 ;精品教育资
